３次正方行列の可逆である必要十分条件

質問

３次正方行列

Ａ＝　１　a　a^2
　　　１　b　b^2
　　　１　c　c^2

が可逆であるための必要十分条件は？

---
可逆であるのは、|A|≠0のときなので、

|A|
=(bc^2　+　ab^2　+　ca^2)　-　(a^2b　+　b^2c　+　c^2a)
=a^2(c-b)　+　b^2(a-c)　+　c^2(b-a)≠0

と考え、a≠b≠c≠0　が必要十分条件かと考えたのですが、
なにか見落としているような気がしています。
間違いあれば、お教えください。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

あきらかに因数分解が足りません。
行列式の形から |A| は (a-b)(b-c)(c-a) を因数に持つはずです。

お礼

(bc^2　+　ab^2　+　ca^2)　-　(a^2b　+　b^2c　+　c^2a)
↑の形をみて、すぐに
(a-b)(b-c)(c-a)
と見当しなければならなかったのですね。

まだまだ因数分解にこなれてないので気づきませんでした。
アドバイスありがとうございました。

回答No.2

sedai

既に、ほぼ回答が記述されていますが・・・
１　a　a^2
１　b　b^2
これを見た時点でa=bだったら同じ行になるから
駄目だなと感じてください。
さらに、a,b,cの交代式なのでb=c,c=aも駄目だなと
考えが進めばゴールが見えていますのでそこに
ひたすら走れば良いです。

お礼

とても参考になりました。
ご回答ありがとうございました。