logxとe^xの関係

質問

xe^x=1を満たすｘの値をａとするとき、
y=log(x+c)、y=e^xがただ一つの共有点を持つときのｃをａで表し、その点における接線の方程式を求めると言う問題ができません。
２つの曲線が接するように値を決めたのですが、微妙に違ってきます。
わかる方、いらっしゃいましたら、お願いします。

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

ANo.1です。

すみません。計算違いしてしまいました m(_ _)m

y = log(x+c) = e^x … (1)
y'= 1/(x+c) = e^x … (2)

(1)=(2)なので、

log(x+c)=1/(x+c)

両辺の指数関数をつくり、

x+c = e^{1/(x+c)}
1= [1/(x+c)] e^{1/(x+c)}

で、xe^x=1を満たすxをaとしているので、

1/(x+c) = a
x+c = 1/a

(2)より、e^x = 1/(x+c) = a
故に、x = log(a)

cの値は、
c = - log(a) + 1/a

また、このとき、y = y' = e^{log(a)} = a

接線の方程式は、(x,y) = (log(a),a) を通り、傾きは y' = a なので、

y -a = a [x - log(a)]
y = a x + a [1 - log(a)]

と求まります。。。m(_ _)m

お礼

ae^a=1の両辺自然対数をとることで、loga+a=0となり、それを利用すると、答えと同じになりました。
ありがとうございました。

回答No.1

aquarius_hiro

tomochan1017さん、こんにちは。

(x,y) で接するためには、

y = log(x+c) = e^x … (1)
y'= 1/(x+c) = e^x … (2)

が同時に成り立つのが条件です。

(2)を(1)に代入すると、

e^x = log(x+c) = log(e^{-x}) = -x

故に、xe^x = 1

ところで、問題で、xe^x=1を満たすxをaとしているので、

　x=a … (3)

がわかります。

(3)を(2)に代入すると、

1/(a+c) = e^a
a+c = e^{-a}

c = -a + e^{-a} = -a + 1/e^a

が求まります。

接線の方程式は、(x,y) = (a,e^a) を通り、傾きは y' = e^a なので、

y - e^a = e^a (x - a)
y = e^a (x-a) + e^a
y = e^a x + e^a (1-a)

と求まります。計算違い等あったらすみません。

お礼

回答ありがとうございます。
e^x = log(x+c) = log(e^{-x}) = -x

故に、xe^x = 1
の部分はどのような変形をしたのですか？