教えてください！！

質問

メジアン数学演習I・II・A・Bという教科書の問題番号２４９番の解答をお願いします。

a,bを実数の定数とする。２つの曲線 C1：y＝x＾３＋ax＋３と、
　　C2：y＝x＾２＋b は第１象限内の１点で接線を共有し、
　　その接線Lは点（０,-a）を通る。このとき、a,bの値と接線の方程式を求めよ。

という問題です。お願いします。

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1のグラフを描いて見ましたので添付します。
3通りの解答のグラフのが縦長になるため、見づらいので縦横の縮尺を変更して縦軸を縮めました。
ANo.1の解答の順に
黒色グラフのセット[a=-5,b=6の場合]、
青色のグラフのセット[a=-1,b=2の場合]、
赤色のグラフのセット[a=-39/4,b=12の場合]
となっています。

参考にして下さい。

回答No.1

info22_

C1：y=x^3 +ax+3 ...(1)
C2：y=x^2 +b ...(2)
(1)より
　y'=3x^2+a
(2)より
　y'=2x
共通の接点を(p,q)とおくと
接線Lは
　y=2p(x-p)+q
(0,-a)を通ることから
　-a=q-2p^2　...(1)
接線の傾きが一致することから
　2p=3p^2+a　...(2)
(p,q)はC1,C2上の点であることから
　q=p^3 +ap+3　...(3)
　q=p^2 +b 　　...(4)
(1),(2),(3),(4)をa,b,p,qの連立方程式として解くと
　[a=-5,b=6,p=-1,q=7]　このとき接線の方程式y=-2x+5
　[a=-1,b=2,p=1,q=3]　このとき接線の方程式y=2x+1
　[a=-39/4,b=12,p=-3/2,q=57/4]　このとき接線の方程式y=-3x+(39/4)
以上の3通りの場合があります。
図を描いて確認してみると３つの場合とも条件を満たしています。