数学IIの複素数について

質問

ワークの問題なんですけど、2つの式が等しいか等しくないか判断で
する問題で以下の2問が気になったので質問します。

1.　√(-8)　　　　√(-8/2)※分母分子とも同じルート内
　　------　　　　　　
　　√(2)

2.　√(2)　　　　　√(2/-18)
　　------
　　√(-18)

回答を見る書き限りでは、1は等しく2は等しくないと書いてあった
のですがなぜそうなるのかがわかりません。

回答No.3

funoe

ｉ と　１／ｉ　とは異なりますよね。（１／ｉ＝－ｉ　ですね）

つまり、
√（－１）／１　と　１／√（－１）　も異なる数です。
さらにしつこく、
√（－１）／√（１）　と　√（１）／√（－１）　もことなる数です。

回答No.2

aquarius_hiro

trippinboyさん、こんにちは。

まず、2を考えます。

√(2/(-18))は、内側の括弧(…)のほうから計算していると解釈します。つまり、

√(2/(-18))=√{(-1)・(2/18)] …(1)

です。ところで、複素数はa>0について、√(-a)=√(-1)・√a と考えますので、(1)は、

√(-1)・√(2/18) = √(-1)・√2/√(18) …(2)

ということになります。√(-1)は虚数単位で、よく i とかくやつです。

一方、√2/√(-18)のほうは、

√2/√(-18) = √2/[√(-1)・√(18)] = (1/√(-1))・(√2/√(18)) …(3)

です。ところで、虚数単位√(-1)は、

　[√(-1)]^2 = √(-1)・√(-1) = -1

となる数ですが、両辺を√(-1)で割ると、

　√(-1) = -1/√(-1) …(4)

となります。つまり、1/√(-1) = - √(-1) です。したがって、(3)は、

- √(-1)・(√2/√(18))

となり、(2)と符号が変わってしまいます。

これはやはり√の中の(…)を先に計算しなければならないということが原因です。√の中では普通の実数の計算なので、

2/(-18) = -2/18

のように分母の(-1)を分子に持ってくるときに、余分なマイナス符号は出てこないわけですが、√2/√(-18)のほうは分母に√(-1)があるので、(4)のように分子に持ってくるときに、余分な -1 が出てくるのです。

1.のほうは、そのまま考えればよく、

√(-8)/√2 = √(-1)・√8/√2
√(-8/2) = √(-1)・√(8/2) = √(-1)・√8/√2

というふうに、a>0のとき、√(-a) = √(-1)・√a という規則をそのまま適用するだけで、二つの式は等しくなることは容易にわかると思います。

回答No.1

koko_u_

√(-18) を √(18) * √(-1) などとすれば多少はわかるかも。

√(ab) = √a * √b が a > 0, b > 0 でのみ成立することを指摘するためだけの問題ですね。