複素数について

質問

先ほどまで別の質問を立てていたのですが
質問分の訂正等色々あったので立て直しました。

一つ断っておきたいのは複素数を授業で習い終えたのですが
最初から最後までちんぷんかんぷんでした。
通信制のスクーリング授業（大学）だったためというのがあります。

その前に三角関数やベクトルを習いましたが、そこからついていけていませんでした。
なので、下記に記す質問以外の事は回答頂いてもついていけませんのでご了承ください。
（なら質問するなって話なのですが、疑問点があるもので）

複素数の四則演算の公式で

a+bi
----
c+di
（分数って事で…)

(a+bi)(c-di)
=----------
(c+di)(c-di)

ac+bd bc-ad
= ----- + ------i
c^2+d^2 c^2+d^2

がありますが、それまでの複素数の所も分からなかったのですが

問題でこの公式に当てはめるものがあり、単純に当てはめれば解けるのではと思い
結局間違えてしまった問題があります。
それが以下の問題と私の解き方です。

2+3i
----
1-2i

(2+3i)(1+2i)
=----------
(1-2i)(1+2i)

2+6 3-4
=--- + ----i
1-4 1-4

=-3i

答え合わせの結果から単純に符号を間違えたことによる答えの相違だというのは分かっています。

こういう符号の使い方になったのは
こういう考え方してはいけないの分かっているのですが
公式と問題を比べて、分子は公式と同じプラスだからそのまま
分母は公式と違ってマイナスだから公式と反転させてという考え方をしました。

この点に関して理解できないとの回答を以前頂きましたが
自分でもなんとなくこういう考えは複素数ではしてはいけないという事は分かってはいました…。
（中3ぐらいまでならこういう考え方で成立する公式ばっかりでしたので、こういう感じになりました）

で、この公式は有理化で解く事も教わりました。

質問点としては
１．この公式は分母を有理化して、そこからは普通に展開をして解いていくということですか？

２．答え合わせの結果の途中式の一部がノートに書き忘れており、分からないのですが
　　(1-2i)を分子と分母に掛ければ正解になったのですか？
　　（(1+2i)を掛けるのが間違いなのは自分の解いた結果からも分かっているのですが、1-2iを掛けても有理化になるのですか？）

1-2iを掛けてみたところ

2-i-6i^2
---------
1-4i+4i^2
となりましたが、これをどう答えに導くのかが分かりません。

i^2の対処法が特に分かりません。
最終的な答えにはiしか無いので。

長文・乱文すみません。

回答お願いします。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>分子と分母を展開すると2+7i+6i^2/1-4i^2こうなりますよね？
>私はここまでしか解けません。

なぜ先に進めないのかわかりませんが、

虚数の計算規則は i・i=i x i = i^2 = -1 ですから

前回の回答とかわり映え有りませんが、ちょっとだけ詳しく書くと

(2　+　7i + 6i^2)/(1-4i^2)

= (2　+　7i　+　6(-1))/(1-4(-1))

= (2 + 7i - 6)/(1 + 4) = (-4 + 7i)/5

= -4/5 + (7/5)i

お礼

再度回答ありがとうございます。

そちらの規則が抜け落ちていました。
やはり私にこの問題を理解する力は無かったようです。
最後までお付き合いいただきありがとうございました。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

(2+3i)(1+2i)
----------
(1-2i)(1+2i)

分子を地道に計算すれば

(2+3i)(1+2i)=2・1 + 2・2i + 3i・1 + 3i・2i = 2・1 + 2・2i + 3i・1 + 3・2(i・i)
=2 + 4i + 3i -6 = -4 + 7i

#i・i=-1 です。

分母を地道に計算すれば

(1-2i)(1+2i)=1・1 + 1・2i - 2i・1 - 2i・2i = 1・1 + 1・2i - 2i・1 - 2・2(i・i)
= 1 + 2i - 2i - (-4) = 5

なので

(2+3i)(1+2i)
----------
(1-2i)(1+2i)

= -4/5 + (7/5)i

とにかく地道に習った計算規則に従って計算してください。

お礼

回答ありがとうございます。

(1+2i)を掛けるのは間違いでは無かったんですね。
思い返せばその後の計算を間違えていたんですね。

疑問点があるのですが

分子分母共に(1+2i)をかけるのは分かりました。
これは有理化の原理で、分母の記号を真逆にしたものを分母と分子にかけるという事でいいのでしょうか？

後、
(1+2i)を掛けて

tknakamuriさんの計算と順序が変わってしまいますが

分子と分母を展開すると2+7i+6i^2/1-4i^2こうなりますよね？

私はここまでしか解けません。
これ以降、正答まで導くのをできれば言葉で説明して頂けると助かります。
iに関しては特に（どういう場合にくくればいいのかとか分かりません）

回答No.4

entap

他の方も解答されていますが…

原理的には
1/(1+√2)　の分母を有理化せよ
という問題と同じですね。

1/(x+√y)の形の√yが邪魔です。二乗できれば嬉しいので、分母分子に(x-√y)をかけます。
(x+√y)(x-√y) = x^2+(√y)^2 = x^2+y で根号が消えます。

同じように、iは二乗すると-1になって、虚数が消えます。ですから、共軛複素数をかけて実数化してやります。
(x+yi)に対して、(x-yi)は、互いに共軛(共役)複素数といいます。共軛とは、「常にペアの」ぐらいの意味です。

分母を有理化したり、実数化したりするのは、数をわかりやすくするためです。
(お作法として綺麗にしておくことになっています。別段必須ではないですが、トイレ使ったら流しておくようなものです。)

1/(1+i)というのはどんな数かよくわかりませんが、分母を実数化して(1-i)/2としておけば、1/2と-i/2を足して数なのだな、ということが、直感的にわかります。

以上、参考まで。

回答No.3

alwen25

(1-2i)(1+2i)=1^2-(2i)^2
=1+4=5

因数分解の公式x^2-y^2=(x+y)(x-y)は
x,yが複素数でも成立します。

回答No.2

asuncion

＞この公式は有理化で解く事も教わりました。

有理化ではありません。
分母の共役複素数（虚数部の符号を反転した値）を
分母と分子にかけると、分母が実数化できる、ということです。

お礼

回答ありがとうございます。

失礼しました。
断定的に書いたのが間違いですね。
有理化の知識を使うのほうが正しいですね。

回答No.1

asuncion

(2+3i) / (1-2i)
= {(2+3i)(1+2i)} / {(1-2i)(1+2i)}
= (2+4i+3i+6i^2) / (1-4i^2)
i^2 = -1だから
= (2+7i-6) / (1+4)
= (-4+7i) / 5