複素数について

質問

質問をする前に前提として
変な話ですが
私は複素数が全体的に分かりません。
そもそも、それ以前の単元でつまづいています。

ただ、先日複素数を習いました（大学のスクーリングの授業だったのですが、分からないまま最後まで終えました）

一応ノートだけはとって帰ってきたのですが
そんな感じですので、複素数にかんして色々言われても理解できないと思います。
（なら質問するなって話ですが、疑問点があるもので）

添付画像上部は四則演算の公式です。

で、下部の問題を出されたので
公式に当てはめれば解けるだろうと思い公式と問題を何度も見比べながら解いたのですが
間違えました。

授業中の答え合わせを見ていたところ、
符号を間違えただけのようです。

公式は分母分子共に＋ですが、問題は分母が－です。

こういう考えはいけないのでしょうが
分子は＋だからそのままで
分母が－だから公式とは逆の符号でという感じで問題を進めました。

複素数の前にベクトルもならったのですが
その辺りから、1次方程式とかは単純にプラスからマイナスへの変化はマイナスを加えればいいだけでしたが
ベクトルとかは単純にそういう感じでは無かったので、上記のような安易な考え方をしたから間違えたのかなと思っています。

符号に関してどう捉えればいいのか教えてください。
ここがプラスの場合、ここはプラス（マイナス）とか…。

回答No.3

kmee · ベストアンサー

平方根を含む分数での、分母の有理化、覚えてますか?たしか、中学校の範囲だったと思います。

(a + b√e )
------------
(c + d√e )

ここで、分子、分母に (c - d√x)を掛けます。
分子、分母に同じ値を掛けても、分数としての値は変化しません。
(c - d√e) を掛けるのは、文字式の展開の公式 (y+z)(y-z) = y^2 - z^2 (^2は二乗の意味)を使って、 √e の項を消したいからです。他の式では、 K√e の形の項がどうしても残ってしまいます。

(a + b√e )(c - d√e )
---------------------
c^2 - d^2(√e)^2

(√e)^2 = e ですから、

(a + b√e )(c - d√e )
---------------------
c^2 - d^2 e

です。
分子は、(x + y )(z + w)の単純な展開です。

ac + ad√e + bc√e - bd(√e)^2
---------------------
c^2 - d^2 e

ac + ad√e + bc√e - bde
---------------------
c^2 - d^2 e

√eでまとめると
(ac - bde) + (ad + bc)√e
---------------------
c^2 - d^2 e

ここで、 (x+y)/z = x/z + y/z を使って、
(ac - bde)　　 　(ad + bc)√e
------------- + ----------------
c^2 - d^2 e　　c^2 - d^2 e

その「公式」は、この式で e=-1 と置いたものです。実際、 代入すると
(ac - bd(-1))　　 　(ad + bc)√(-1)
------------- + ----------------
c^2 - d^2 (-1)　　c^2 - d^2 (-1)

(ac + bd)　　 　(ad + bc)
------------- + ------------ ・ i
c^2 + d^2 　　c^2 + d^2

今までは、「e>=0」として虚数は扱っていませんでした。それを e<0 に拡張したのです。

公式というは、それを正しく使える人には便利な道具ですが、中途半端にしか覚えてない人には、間違いの元です。
プラスがマイナスが..と悩むくらいなら
「分母が(a + bi)なら、分子、分母に (a - bi) を掛ける」
「あとは、中学でやった多項式の展開」
で地道に計算すればいいんです。

で、わざわざ (ac + bd)/(c^2 + d^2) + i・(ad + bc)/(c^2 + d^2) の形にあてはめて計算してますが
実際の値がわかっているなら

(a + bi )(c - di )
---------------------
c^2 - d^2 ・ i^2
の状態から計算を続けた方が楽だと思います

(2+3i)/(1-2i)
=(2+3i)(1-(-2)i) / (1+(-2)i)(1-(-2)i) ※ 公式にあてはめれば、 d=-2 ということ
=(2+3i)(1+2i) / (1-2i)(1+2i) ※ 慣れたのなら、直接こっちにしてもいい
=(2・1 + 2・2i + 3i・1 + 3i ・2i) /( 1^2 - (2i)^2)
=( 2 - 6 + 4i + 3i ) / ( 1+4) ※ i^2 = -1 を使う
=(-4+7i)/5
= -4/5 + 7/5・i

あなたの間違いは、 「公式」のd=2 としてしまったこと、分母を勝手に c^2-d^2にしていまったことです。
公式にあてはめるならd=-2とし、公式通りの全て+にします。

お礼

回答ありがとうございます。

ややこしい分数の形だったので画像にしましたが、こういう書き方がありましたね。

有理化は分かります。
確かに公式を見ると有理化をしています。

ただ、申し訳ないですが、この説明文を見て他に疑問点がわき出てしまいましたので、
一旦閉めて新しく質問し直したいと思います。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

まず公式の中の c^2 + d^2 は c と d が実数なのですから
常に 0 または正です。負には絶対ならないのですよ。

公式中の符号をなぜ反転させてしまうのか私には理解できません。
あなた独自に計算方法を発明せずに、基本に戻って
公式に忠実に計算してみてください。

a=2、b=3, c = 1, d=-2

これで機械的に、公式の最後の式で計算してみてください。
それができたら、自分で変形して公式と同じ答えに
たどり着くか試すのが良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

公式中の符号を反転させたのは問題と公式の符号が違ったのと
これまで習った事からの結果です。

ベクトル辺りから、公式のプラスとマイナスの違いが単純に符号を変えるだけの問題ではなくなっていたことはなんとなく分かってはいたのですが

中3までの数学だと、単純にプラスとマイナスの違いはプラスとマイナスを入れ替えるだけで成立していたので、そういう感覚からです。

回答No.4

Water_5

それ以前に、映りが悪く、文字が読めない。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

画像がないですよ。

補足

失礼しました。画像アップしました。

公式は大丈夫かとは思いますが
下の問題のほう、
私の答えは
(+)(+)/(-)(+)=(+)/(-)+(-)/(-)=-3iとなっています。
（画像が見づらかったので符号だけ書かせて頂きました）

答え合わせから見ても、符号の間違いによるものなので…。

回答No.1

uen_sap

質問の意味がわからない。
具体的に記載下さい。

補足

失礼しました。画像のアップが上手くできていませんでした。