△の問題

質問

『3辺の長さがそれぞれa、b、cの三角形があり、
a+c=mb　a+b=ncであるとする。
(1)m>1かつn>1であることを示せ。
(2)m>1かつn>1であることのほかに、三角形となるためのmとnの
関係を表す不等式を求めよ。』
(1)は|b-c|<aを使いできましたが、(2)はまったく手が出ませんでした。
お助けお願いします。

回答No.1

fukuda-h · ベストアンサー

三角形が出来る条件は
a+b>c・・・・(1)
b+c>a・・・・(2)
c+a>b・・・・(3)
が同時になりたつことで
(1)からnc>c
(3)からmb>b
よりm>1かつn>1であることがしめされるので、さらに何かをせよという問題ですからたぶん(2)の不等式を使ってどうにかせよということでしょう。

a+c=mb　a+b=ncをb,cについての連立方程式と考えて解いてみます

b=[(n+1)a]/(mn-1)
c=[(m+1)a]/(mn-1)

これを(2)へ代入して[(n+1)a]/(mn-1)+[(m+1)a]/(mn-1)>a
という不等式を作ります.理由は先に書いたとおりでまだ残っている条件を使って見ようという事です。mn-1>0ですから
整理して
n+1+m+1>mn-1
m+n+3>mn
これでしょうね。

お礼

ありがとうございます。
文字を減らしていくことが大切ですね。

回答No.7

kumipapa

＃５です。
度々すみません。大きく計算間違いでした。
cosＡ＝（ｎ＋ｍ－ｎｍ＋１）/２
故に、
－２＜(ｎ＋ｍ－ｎｍ＋１）＜２
これを変形すると、
４＞(ｎ－１)(ｍ－１）＞０
故にｎ＞１，ｍ＞１に加えるべき条件は、(ｎ－１)(ｍ－１)＜４
（展開すると、ｎｍ＜ｎ＋ｍ＋３です。何度もごめんなさい、夏バテで）

回答No.6

kumipapa

＃５の方針でやってみました。
ａ＋ｂ＝ｎｃ
ａ＋ｃ＝ｍｂ
より、
ｂ＝｛(ｎ＋１)/(ｎｍ－１)｝ ａ
ｃ＝｛(ｍ＋１)/(ｎｍ－１)｝ ａ
この関係で表されるａ，ｂ，ｃが余弦定理を満たせば、ａ，ｂ，ｃを各辺の長さとする三角形が存在する。
余弦定理、
ａ^2 ＝ ｂ^2＋ｃ^2－２ｂｃ cosＡ
を満たすためには、cosＡが－１＜cosＡ＜１でなければならない。
余弦定理に上のｂ，ｃを代入し、cosＡを求めると、
cosＡ＝ －(ｎ－１)(ｍ－１)/2
となるから、求める条件は、
－２＜ (ｎ－１)(ｍ－１) ＜２
しかし、nm 平面上において、－２＜ (ｎ－１)(ｍ－１)を満足する領域は、ｎ＞１，ｍ＞１の領域を含むから、ｎ＞１，ｍ＞１に加えるべき条件として必要ではない。

故に、三角形となるための条件は、
ｎ＞１，ｍ＞１，(ｎ－１)(ｍ－１)＜２

お礼

詳しい説明ありがとうございます。

回答No.5

kumipapa

#3の話を子供と話したら、いわく、三角形となるための等式を利用して、その等式が成り立つためのｎ、ｍの条件を求めたって良いのではないか、という話になりました。たしかにその通りで、等式からむやみに不等式を作るのはだめですが、等式を成立させるための条件ならOKでしょう。
例えば、
ａ＋ｃ＝ｍｂ
ａ＋ｂ＝ｎｂ
を連立させて、ｂ、ｃを＃１さんのようにａ，ｍ，ｎで表す。
そのｂ、ｃを余弦定理に代入すると、ａは消せて、cosθをcosθ＝ｆ（ｍ、ｎ）というｍとｎの式で表せる。
すると、三角形となる条件は、ｍ＞１、ｎ＞１の条件の元で、cosθ＝ｆ（ｍ、ｎ）となるθが存在すること、即ち、－１＜ｆ（ｍ、ｎ）＜１となること。
こうすると、ｍ、ｎの関係について、上限、下限の両方の条件を出せるでしょう。

もし時間があったらトライしてみていただけませんか。
（ごめんなさい、もう夜も遅いので勘弁）

お礼

わざわざご子息と話してくださりありがとうございます。

回答No.4

take_5

書き込みミスです。

a＋b＞c、b＋c＞a、c＋a＞bに(2)と(3)を代入すると

　　　　　　　↓

a＋b＞c、b＋c＞a、c＋a＞bに(1)を代入すると

のミスです。。。。。。。恥

回答No.3

kumipapa

問題をよく読むと、「三角形となるための」とありますので、
a+b = nc > c
a+c = mc > b
に条件を加えて、a,b,cが三角形となるための必要充分条件を完成させなさい、というのが出題主旨ですね。
ですから、加えるべき条件は b+c > a であり、それ以外の不等式では正解にはなりません。また、求める条件はn,mの不等式ですから、b+c > aから文字を消去するという＃１さんの解答が唯一の方針となるでしょう。
というように、すぐに式をいじりはじめるのではなく、最初に論理、それにしたがって方針決定して問題解決された＃１さんの解答は、その解答の内容そのものも勿論ですが、考え方、取り組み方を参考にされると良いでしょう。
なお、余談になりますが、三角形で成立する正弦定理や余弦定理などの公式や、それから導出される等式を変形して不等式を作成することも可能ですけど、これは三角形の性質を記述しているだけ（つまり必要条件）であり、三角形であるための条件（必要充分条件）にはならないことは注意が必要です。先日見かけた別の問題で、出題者自身が勘違いしていた例を見つけたものですから念のため。
以上、＃１さんの解答の蛇足にもなっていませんが、アドバイスです。

お礼

ありがとうございます。
問題の聞かれていることに注意することが必要ですね。

回答No.2

take_5

(2)だけ解いときます。問題は3辺の比だけなので、そんな場合は次の置き換えは定石だろう。

a/b＝x、c/b＝yとすると、a＝bx、c＝by‥‥(1)
よって、条件からx＋y＝m‥‥(2)　x+1＝ny‥‥(3).
三角形の形成条件：a＋b＞c、b＋c＞a、c＋a＞bに(2)と(3)を代入するとx+1＞y、1+y＞x、x＋y＞1‥‥(4)となる。
(2)と(3)から、x＝(mn-1)/(n+1)、y＝(m+1)/(n+1)であるから、これらを(4)に代入すると、n-m+1＜mn＜m＋n＋3.

但し、検算してください。。。。。。。笑

お礼

ありがとうございます。
三角形の条件のaについて考えればよかったんですね。