証明の説明

質問

GCD(m,n)=1 cは任意の整数　⇒ ｆ(a)=ma+cで定義されたZn自身からの写像は全単射である。

この証明の単射性の証明ですが

ｆ(a)=f(b)とする。　このとき ma+c≡mb+c (mod n)これはnが(ma+c)-(mb+c)を割り切る。
したがってnはm(a-b)を割り切る。 GCD(m,n)=1よりnは（a-b）を割り切る。
しかしｎが(a-b)を割り切るのは(a-b)=0の場合つまりa=b　なぜなら a,b∈Znだから。

最後の
「しかしｎが(a-b)を割り切るのは(a-b)=0の場合　なぜなら a,b∈Zn」という所がいまいちわかりません。
なぜそうなるのかどなたか教えてください！

回答No.3

alice_44

←A No.2
m と n が素でないとき、例えば m=6, n=10 のとき
何が起こるかを見れば、ただ「一次関数だから」では
済まないことが解るよ。
m=6, n=10, c=1 のとき、f(2)=f(7)=3 だが、
Z10 において 2 と 7 は異なる。

回答No.2

snorioo

この証明問題そもそもの意味が分かりません。
f(a) = ma + c であればこれは一次関数ですから、f(a) = f(b)であれば a=b であるのは自明ではないのでしょうか？？？
Znや合同式を持ち出す意味が分かりません。

回答No.1

alice_44

a-b が n で割り切れるところまでは ok ですね？
a-b=nk となる整数 k があるのだから、a=b+nk です。
a と b を n で割った余りは等しいということ。
それって、Zn の元が等しいことの定義ですよね？