回転体

質問

O-xyz座標系において、z=cos(x^2)をz軸の周りに回転させて得られる曲面の方程式がz=cos(x^2+y^2)になるらしいのですが、どういうことかよく分かりません。簡単にご教授お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

z=cos(x^2)をz軸の周りに回転させるということは
あるzにおけるを通るxy座標平面に平行な平面で回転体の曲面の断面の円の半径rは
　r=x　(z=cos(r^2)) …(1)
です。
これで決まるrは、回転体のzにおける曲面の半径でもあるので
曲面の式z=f(x,y)におけるx,y座標との関係は

　x^2+y^2=r^2 (このrは(1)式で決まるrです）

このr^2=x^2+y^2を(1)のzの式に代入してやると
　z=cos(x^2+y^2)　...(3)
となります。
このzを-1～1まで変化させてやると(3)式の曲面が得られます。

xz平面上の曲線 z=sin(x^2)と
これをz軸のまわりに回転してできる曲面のグラフを３次元プロットした図を描いて添付しますので回転する前の曲線z=cos(x^2) (y=0)と回転した後の曲面z=cos(x^2+y^2)の関係をじっくり観察して見てください。

お礼

グラフで分かりやすい視覚化までご用意ありがとうございました。そのままグラフ化してもよく分からなかったのですが、この３Ｄグラフは分かりやすいです！

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

X-Y平面上で原点を通る軸を考えたとき、Z-X平面に描かれるグラフと同じグラフになっている必要がある。回転体であるので。

この軸の座標をrと置くと、z=cos(r^2)のグラフになる。
このrをx軸とy軸に射影をとったとき、x軸と挟む角をθと置くと、r^2=(rcosθ)^2+(rsinθ)^2=x^2+y^2。
従って、z=cos(x^2+y^2)。

お礼

なるほど！よく分かりました。ありがとうございました。