f(0)=0となった時のことについて

質問

多項式とは限らない関数f(x)について、
f(0)=0となった時について質問があります。

f(0)=0なら、gをxについての関数で、
x=0のときにも定義されるものとすると、
f(x)=x*g(x)と表すことができるのでしょうか？
また、そう表すことができるなら、g(x)は具体的に
どういった性質をもつ関数だと言えるのでしょうか？
例えば、多項式なのでしょうか？

もし、f(x)が多項式だったら、f(0)=0のとき、
gをxについての多項式として、f(x)=x*g(x)と
表わすことができると思うのですが…
f(x)が多項式とは限らない時にf(0)=0だったら
どうなるかということが気になります。

その他でf(0)=0について言えることがあれば、
それも回答願います。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

f がどんな関数であっても、g を
　g(x) = f(x) / x　　(x≠0 のとき)
　g(0) = (好きな定数)
と定義すれば、f(x) = x g(x) は成り立ちます。

f が多項式ならば、因数定理より、
f(x) = x g(x) となるような多項式 g が在りますが、
　G(x) = g(x)　　(x≠0 のとき)
　G(0) = g(0) + 1
などとしても、f(x) = x G(x) が成り立ってしまうので、
g に連続性などの制限を設けて議論するのでなければ
あまり意味がありません。

f が多項式とは限らないとき、
f(x) = x g(x) が成立するような、連続な g が存在しない
場合もあります。
例えば、f(x) = √|x|。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。

>>f がどんな関数であっても、g を
>>　g(x) = f(x) / x　　(x≠0 のとき)
>>　g(0) = (好きな定数)
>>と定義すれば、f(x) = x g(x) は成り立ちます。
とありますが、ということは、
fがどんな関数であっても、f(0)=0が成り立てば、
g(x) = f(x) / x　　(x≠0 のとき)
g(0) = (好きな定数)
としてf(x)=x g(x)
と書けるということでしょうか？

回答No.1

noname#91648

f(0)=0なら、gをxについての関数で、

x=0のときにも定義されるものとすると、

f(x)=x*g(x)と表すことができるよ。