微分の公式と対数の公式の関係

質問

微分のdx^n/dx=nx^(n-1)という公式は対数の logx^n=nlogxという公式にどことなく(数学の得意な人には嫌われる表現ですが）似ているように思われるのですが数学的には根拠がないことなのでしょうか。微分のほうは二項定理などから納得できるのですが対数のほうでは二項定理は関係がないだろうと思ったりしております。何か初学者の独学に参考にさせていただけるようなご教示をいただければ幸いです。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

これは，明確な回答というのではなく，質問を読んだ感想です．

>>微分のdx^n/dx=nx^(n-1)という公式は対数の logx^n=nlogxという
>>公式にどことなく(数学の得意な人には嫌われる表現ですが）
>>似ているように思われるのですが数学的には
>>根拠がないことなのでしょうか。

このような「似ているように思われる」という感覚が数学では，一番大切なのです．大げさに言うと，そこから数学が生まれるからです．「似ているように思える」から何かがあるのではないかと，突き詰めてゆき，やがて１つの数学が生まれるかも知れないからです．そういう感覚と持った時には，とことん調べ，突き詰め，計算したりして，諦めずに進んでみて下さい．
アンリ・ポアンカレ(フランスの数学者)の「科学と方法」や「科学と仮説」という文庫本がありますので，お読みになることを，お薦めします．数学を発見した瞬間の記述が生々しく描かれています．

お礼

ご助言ありがとうございます。自分なりの納得というのは教科書に即した道筋を追ってもほとんど得られないのでここにお邪魔させていただいております。中学程度の計算なども細々やっているのですが、ほとんどは物差しで計って大体同じくらいだろうかというようなことがほとんどです。今後ともよろしくご教示をいただければと考えております。

回答No.3

shuasa

私は大学生ですが、知っている限り関係はないと思います。

ただ、No.3の方もおっしゃっている通り現代、判明している数学では関係のないように思われているだけであって、将来的にはそこから新たな理論が生まれるかもしれません。

実際に、フーリエ変換(全ての関数は三角関数の重ね合わせで表される。)などというのも、最初は直感的に思っただけのようですし。

私は質問者さんのような発想がなかったのですが、大変面白く感じました。

お礼

御回答ありがとうございます。面白いとおっしゃっていただいて安心すると同時にまともにあれこれ試行錯誤していくことにより新しいことがわからなくても自分の勉強になることが納得できました。Knotopologさｎのご助言と共にshuasaさんのご回答は独学を楽しんでいる私にとって大きな支えになった感じがします。今後ともよろしくお願いいたします。

回答No.1

angrox

logx^n=nlogxは、logａ+logｂ=logａｂをわかっていれば自分で導けると思います。
logxをｎ個足すと、nlogxになるのは普通です。
ここで対数の性質を思い出してlogxをｎ個足すと、logx+logx+logx+logx+…+logx=log(x・x・x・…・ｘ)＝logx^n（括弧の中はxをｎ個かけてます）が成り立ちます。
だからlogx^n=nlogxが成り立ちます。

お礼

御教示ありがとうございます。掛け算が足し算に変わってしまう指数の法則も神秘的と思いますが、微分との関連が分かれば（あったとして）おぼつかない私の理解が少し進むかと思いました。