素数の集合

質問

初質問です。失礼致します。
検索はかけたのですが見つからなかったのでよろしければ回答お願い致します。

Q.素数の集合があり、集合に含まれる素数の数は５個以上で、また同じ素数が２個以上含まれているかもしれない。
集合に含まれる素数の総和はxになり、すべてをかけると87.5×xになる。 この時xはいくつか？

友人から聞いたのですが灘中の入試で出たらしいですね。
文系ですが当方大学生…小学生でこういうのできちゃう人がいるんですね…

回答No.5

noname#47975

２×（５つ以上の素数積）＝１７５ｘ＝５×５×７×ｘより、
５つ以上の素数について、５、５、７の素数が含まれなければならない
といえる。
この時点で、５つ以上の素数のうちの３つは５、５、７である事が分かる。

これにより、

２×（２つ以上の素数積）＝　ｘ
（２つ以上の素数和）＋１７＝　ｘ

となる事から、

２×（２つ以上の素数積）＝（２つ以上の素数和）＋１７－－－(1)
となる。

ここで、（２つ以上の素数積）≧（２つ以上の素数和）である事を
示す。まず注意したいのは、２つ以上の素数積において、掛けた数はいずれも２以上であるという事です。（なぜなら１は素数でないからである。）

この事を踏まえ、まず、
Ａ、Ｂ（Ａ≧Ｂ≧２）とおくと、

Ａ×Ｂ＝Ａ＋…Ａ（ＡをＢ回（Ｂ≧２）足す）≧Ａ＋Ａ（Ａを２回足す）≧Ａ＋Ｂ（Ａ≧Ｂより、ＡとＡを足した値よりも超えることはない）
である事から、Ａ×Ｂ≧Ａ＋Ｂである。

次に、Ａ、Ｂ、Ｃ（Ａ≧Ｂ≧Ｃ≧２）についても、上記を利用すれば、
Ａ×（Ｂ×Ｃ）≧　Ａ＋（Ｂ×Ｃ）≧　Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）となるので、
Ａ×Ｂ×Ｃ≧Ａ＋Ｂ＋Ｃである。

４つ以上の積和（ただし、２以上の整数）の場合も以上の繰り返しとなるので、積≧和である事がいえる。

そして、(1)式については、
（２つ以上の素数積）＋（２つ以上の素数積）＝（２つ以上の素数和）＋１７と書き改めることが出来る。

ここで、さらに分かりやすくするために、

Ａ：（２つ以上の素数積）
Ｂ：（２つ以上の素数積）
Ｃ：（２つ以上の素数和）
とおくと、

Ａ＋Ｂ＝Ｃ＋１７となる。
先の証明により、Ａ≧Ｃである事から、Ｂ≦１７でなければ等号が成立しないといえる。このことから、（２つ以上の素数積）≦１７でなければならない。

また、（２つ以上の素数積）≠素数である事から、
２つ以上の素数積＝4 or 6 or 8 or 9 or 10 or 12 or 14 or 15 or 16
のうちのいずれかである。
この中で条件を満たすものは、12のみである。
これにより、２つ以上の素数＝2,2,3である。
ゆえに、集合に含まれる素数の数は、2,2,3,5,5,7である事から、ｘは
これらの和であるので、x=24である。

回答No.4

slimebess

念のために、確認。

２以上の整数は掛け算した方が足し算したものより必ず大きくなる

すなわち
xy≧x+y(x,y≧2)

Proof)

xy-(x+y)
=x(y-1)-y
=x(y-1)-(y-1)-1
=(x-1)(y-1)-1
≧1-1
[∵
x-1≧1,
y-1≧1
⇒(x-1)(y-1)≧1
]
≧0

これを繰り返すことにより
Πa(i)≧Σa(i)

回答No.3

ringohatimitu

No1さんやNo2さんの回答が模範ですね。ただ中学入試であること、さらに問題においてはただ一通りの解を要求してるわけではない（すなわち問題の意に当てはまる和を一つ与えなさいというように捉える）ことを踏まえると小学生は多分次のように偶発的実験をしていくのではないでしょうか（自分は以下のようにやって見つけました）：
（１）８７．５が掛け算にあるから和は偶数で結局すべてを掛けたとき素数５，５，７（５×５×７＝１７５）が集合にある
（２）とりあえず足して１７
（３）｛｛１７＋（他の素数の和）｝/２｝×１７５＝５×５×７×（他の素数の積）、すなわち
１７＋（他の素数の和）＝２×（他の素数の積）
（４）他の素数に２があるとすると
１９＋（他の素数の和）＝４×（他の素数の積）
（５）ここで他の素数は１個だけだとすると１９は３で割り切れないので計算が合わない
（６）再び２があるとすると
２１＋（他の素数の和）＝８×（他の素数の積）
ここで他の素数が一つだけだとすると計算が幸いにも合う。すなわち
２１＝７×（他の素数）で最後の素数は３
以上から｛２，２，３，５，５，７｝が丁度題意を満たす集合であることが分かる。
まあ偶然解答のようなものなので参考程度に。。

回答No.2

noname#52504

小学生らしく(?)、実験(挙動調査)主体でじみ～に解いてみました。
書き方は小学生らしくないですが。

ア)まず、【積】＝87.5×【和】について、
【積】【和】はいずれも整数　
　⇒　87.5×【和】も整数
　⇒　【和】は偶数
　⇒　87.5×【和】＝87.5×2×整数
　⇒　【積】＝5×5×7×整数
　∴集合は5,5,7を含む。

イ)素数の個数が５であるとき
　【和】が偶数、すなわち、奇数が偶数個であることに注意すると、
　可能な組み合わせは、【和】が小さい順に、
　｛5,5,7,3,2｝　このとき、87.5×【和】＝1925,【積】＝1050
　｛5,5,7,5,2｝　このとき、87.5×【和】＝2100,【積】＝1750
　｛5,5,7,7,2｝　このとき、87.5×【和】＝2275,【積】＝2450
　以下、87.5×【和】が175ずつ増えるのに対して、【積】は700ずつ増えるので、
　87.5×【和】と【積】が一致する組み合わせはない。

ウ)素数の個数が６以上であるとき
　【和】が偶数、すなわち、奇数が偶数個であることに注意すると、
　【和】が最小となる組み合わせは、
　｛5,5,7,3,2,2｝　このとき、87.5×【和】＝2100,【積】＝2100　適

　｛5,5,7,3,2,2｝について3,2,2のうちいくつかをより大きな素数に置き換え、あるいは新たな素数を加えたとき、
　【和】の増分１に対し、
　87.5×【和】は87.5しか増えないのに対し、【積】は少なくとも5×5×7×2×2＝700は増える。
　よって、他に一致する組み合わせはない。

よって、条件を満たす集合は｛5,5,7,3,2,2｝のみ(Ans.

なんか穴がありそうですね。
ウの後半なんか、大学入試だったら「自明じゃない！」とバツつけられそうな気がします。

回答No.1

adinat

灘のことだからどうだか、という気もしますが、方程式使わないで解くのは難解ですねえ。とりあえず、答えです；
５，５，７，２，２，３
合計すると、ｘ＝２４、積を取ると、２１００＝２４×８７．５です。５個以上という条件をつけるとこれしか解はありませんが、４個でもよいなら、
５，５，７，１７
という解もあります。このときは、ｘ＝３４、積は２９７５＝３４×８７．５です。

解法はいろいろあると思います。一例ですが、参考にしてみてください。
ｘ＝ａ＿１＋…＋ａ＿ｎ
とおく。ｘは偶数だから、ｘ＝２ｙとできる。ｙは整数。
ａ＿１×…×ａ＿ｎ＝８７．５×２ｙ＝１７５ｙ＝５×５×７×ｙ
よって、素数の３つは５，５，７でなくてはならない。ａ＿１＝５、ａ＿２＝５、ａ＿３＝７としておくと、
１７＋ａ＿４＋…＋ａ＿ｎ＝ｘ
１７５×ａ＿４×…×ａ＿ｎ＝８７．５ｘ
で、書き直すと、
ａ＿４＋…＋ａ＿ｎ＝ｘ－１７
ａ＿４×…×ａ＿ｎ＝ｘ／２＝ｙ
２以上の整数は掛け算した方が足し算したものより必ず大きくなるから、
ｘ／２≧ｘ－１７より、ｘ≦３４。一方、ｘ－１７は二つ以上の素数の和だから、４以上、つまりｘ≧２１。これとｘが偶数であることを考慮して、ｘ＝２２,２４，２６，２８，３０，３２，３４のどれかです。
ｘ／２＝ｙは２つ以上の素数の積なので、ｘ＝２２，２６，３４はまずいですから、ｘ＝２４，２８，３０，３２のどれかです。
ｘ＝２４のとき、ｙ＝１２＝２×２×３、２＋２＋３＝２４－１７でＯｋ．
ｘ＝２８のとき、ｙ＝１４＝２×７、２＋７≠２８－１７でアウト。
ｘ＝３０のとき、ｙ＝１５＝３×５、３＋５≠３０－１７でアウト。
ｘ＝３２のとき、ｙ＝１６＝２×２×２×２、２＋２＋２＋２≠３２－１７でアウト。

以上より、ｘ＝２４に決定します。