会員数を予測する数式を教えてください。

質問

６ヵ月後に１億PVを生み出し、その後は緩やかにPV数が上昇するというサイトのPVを予測しようとしています。

X＝期間（ヶ月）、Y＝PV数として、
たぶん、、、
Y＝√AXのかたちだとおもいますが、
（X,Y）（０，０）（６,１億）を通る数式で、、、
且つ（６,１億）が底辺になる二次方程式（？）の数式を教えてください。

当方、文系で数学のことはさっぱりわかりません。
よろしくおねがいいたします。

回答No.3

stomachman

PVって何だか知りませんけど、仮に会員数のことだとすると、人口は有限なんだから際限なく増えるなんて筈がありません。だから、Y＝√AXなんてことはありえない。
　「全人口のうち、会員になる可能性が断然ない人は、だいたいコノクライの割合で居る」と考えれば、Xがうんと大きくなったときの会員数、すなわち最大の会員数Mを予測できるでしょう。つまり、Mは「潜在的な会員の数」ということです。

モデルはいろいろ考えられるでしょうけれど、たとえば「潜在的な会員のうち、まだ会員になっていない人」のうちの一定の割合の人が毎月会員になる（一度会員になったらやめない）と考えますと、
dY/dX=k(M-Y)
という微分方程式で表されるモデルができます。(M-Y)が「潜在的な会員のうち、まだ会員になっていない人」の人数、kは会員になる割合です。この微分方程式を解くと
Y = M(1-exp(-kX))+C
（ここに、exp( )というのは指数関数で、Excelでもexp( )と書きます。）
で、未知の定数kとCを含んでいます。
ですが、X=0のときY=0でなくてはいけないから、(exp(0)=1なので）
C=0
と決まります。もうひとつの係数kは、X=6のときにY=1億なんだから
1億 = M(1-exp(-6k))
したがって
exp(-6k)=1-1億/M
両辺の自然対数(ln( )。Excelでもln( )と書きます。)を取って整理すると
k =-( ln(1-1億/M))/6
と出ます。

回答No.2

noname#57316

モデルを作る時の例を示しましょう（合っているかどうかは全く関知しません）。あくまで「例」です。
初めは、急な立ち上がり　　　　　← （需要＞＞供給）
あるところから緩やかな上昇　　　← （需要≒上限に近い → [上限－(マイナス)需要]に比例）
といった、何故増加するか、あるいは減少するか、そして、時間が経てばどのように
変わるか、それは何が増加し、何が減少するからか、とかどちらが支配的になるからか、
変化の仕方は比例か、指数関数的か等々、定量化に結びつく要素を出し尽くさなければなりません。

今の場合の、考え得る一つのケースを示して見ます。
上限があるとして、
ΔY/ΔX=A-Y　← 時期 X におけるPV数の、上限との差に比例して増加する。
微分方程式に直してこれを解くと
dY/dX=A-Y
(dY/dX)+Y=A
d{e^(X)・Y}/dX=A・e^(X)
∫[X=0→X]d[{e^(X)・Y}/dX]dX=A・∫[X=0→X][e^(X)]dX
e^(X)・Y-Y_0=A・{e^(X)-1}
Y=Y_0・e^(-X)+A・{1-e^(-X)}
X=0 のとき、Y=0 だから、Y_0=0

∴ Y=A・{1-e^(-X)}
これは、0 からスタートし、時間とともに徐々に増加していって、上限値に限りなく
接近する（超えることは無い）、という函数です。

X=6 のとき、Y=10^8 ですから
10^8=A・{1-e^(-6)}=A・(1-0.00248)=0.9975・A
A=1.0025・10^8

故に、求める函数は、Y=1.0025・10^8・{1-e^(-X)}

モデルの立て方により、いろいろな式が導かれます。

回答No.1

sanori

・６ヵ月後に１億ＰＶ
・６月以降は、緩やかに上昇
という条件だけでは不足です。

勝手に、モデルを立てるとすれば、立て方の種類は、いくらでもありますよ。

ご質問文に書かれているように、ルートの形の関数だと勝手に決めるのであれば、
ｙ　＝　ａ√ｘ
として、
これが（６，１億）を通るので、
１億　＝　ａ√６
ａ　＝　１億÷√６　≒　４０８２万
したがって、
ｙ　≒　４０８２万×√ｘ

となります。