微分の仕方が分かりません

質問

すいません。次の微分がわかりません。

1/π d/dx ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))=1/(2π)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)+1/(x-n))

どうして1/π d/dx ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))が
1/(2π)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)+1/(x-n))に辿り着くのでしょうか?

分かり易いご解説お願い致します。

回答No.1

info22_

>どうして1/π d/dx ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))が
>1/(2π)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)+1/(x-n))に辿り着くのでしょうか?

(1/π)倍は除いた部分の計算だけ取り出すと

y=ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))
=∑_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2) (|x|/n<1)
であるから
y'=∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)
=∑_{n=1}^∞ (1-x^2/n^2)'/(1-x^2/n^2)
=∑_{n=1}^∞ (-2x/n^2)/(1-x^2/n^2)
=∑_{n=1}^∞ (-2x)/(n^2-x^2)
=∑_{n=1}^∞ (2x)/(x^2-n^2)
=∑_{n=1}^∞ (2x)/((x+n)(x-n))
=∑_{n=1}^∞ ((1/(x+n))+(1/(x-n)))

後はnの範囲をΣ_{n∈Z}としたため(1/2)倍にしてるようです。

お礼

恐れ入ります。

>>どうして1/π d/dx ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))が
>>1/(2π)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)+1/(x-n))に辿り着くのでしょうか?
> (1/π)倍は除いた部分の計算だけ取り出すと
> y=ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))
> =∑_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2) (|x|/n<1)

すいません。ここの変形はどうしてできるのでしょうか?
突然,Σで出てきちゃってますが。

> であるから
> y'=∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)

これはln(1-x^2/n^2)が一様収束なのでd/dxをΣの内側に入れれるのですよね。
どうすればln(1-x^2/n^2)が一様収束と分かるのでしょうか?

> =∑_{n=1}^∞ (1-x^2/n^2)'/(1-x^2/n^2)
> =∑_{n=1}^∞ (-2x/n^2)/(1-x^2/n^2)
> =∑_{n=1}^∞ (-2x)/(n^2-x^2)
> =∑_{n=1}^∞ (2x)/(x^2-n^2)
> =∑_{n=1}^∞ (2x)/((x+n)(x-n))
> =∑_{n=1}^∞ ((1/(x+n))+(1/(x-n)))
> 後はnの範囲をΣ_{n∈Z}としたため(1/2)倍にしてるようです。

これらは納得です。

補足

>> y=ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))
>> =∑_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2) (|x|/n<1)
> すいません。ここの変形はどうしてできるのでしょうか?
> 突然,Σで出てきちゃってますが。

あっ。これは真数の積は対数の和の公式ですね。
つまり,ln(Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2))=ln(lim_{k→∞}Π_{n=1}^k (1-x^2/n^2))
=lim_{k→∞}lnΠ_{n=1}^k (1-x^2/n^2)
(∵lim_{k→∞}Π_{n=1}^k (1-x^2/n^2))は|x|/n<1で一様収束)
=lim_{k→∞}Σ_{n=1}^k ln(1-x^2/n^2)
=Σ_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2)
でいいのでしょうか?

"lim_{k→∞}Π_{n=1}^k (1-x^2/n^2))は|x|/n<1で一様収束"である事はどうすれば示せますでしょうか?

あと,|x|/n≧1の範囲ではどのように計算を進めてけばいいのでしょうか?

>> であるから
>> y'=∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)
> これはln(1-x^2/n^2)が一様収束なのでd/dxをΣの内側に入れれるのですよね。
> どうすればln(1-x^2/n^2)が一様収束と分かるのでしょうか?

もとい,∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)のCでの一様収束性を言わねばなりませんね。
lim_{k→∞}sup{|∑_{n=1}^k d/dx ln(1-x^2/n^2)-∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)|;x∈C}=0が言えればいいのですよね。
lim_{k→∞}sup{|∑_{n=1}^k d/dx ln(1-x^2/n^2)-∑_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)|;x∈C}
=lim_{k→∞}sup{|∑_{n=k+1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)|;x∈C}
=lim_{k→∞}sup{|∑_{n=k+1}^∞ -2x/n^2|;x∈C}
=lim_{k→∞}sup{|-2x/(k+1)^2-2x/(k+2)^2-…|;x∈C}
からどうすればいいのでしょうか?