球の１周は4π

質問

学校の授業（物理学）の授業で球の１週は４πになると習いました。説明としては円の円周が２πｒだから２π。一方、球の場合表面積が４πｒ^2だから１周は４π。ｒがｒ^2になっているのは２次元から３次元に上がったから。（すいません少しうろ覚えです。）この説明が少し納得がいきません。そもそも球で１周すると言うこと波動言うことなのですか？これは計算から出てくるものだけであって実際に紙に書くとか頭にイメージすると言うことはできないのですか？

回答No.6

aster · ベストアンサー

４πというのは、他のみなさんが言っておられるように、球の「立体角」のことです。

問題は「一周」するということで、これはどういう意味かということになります。

円周の上を点が、一周するというのはよく分かります。しかし、球体も、例えば「地球」などは、一日に自転で一周すると言います。円周の上を点が通過して一周するとき、丁度、２πの距離になります。

地球が自転などで、球体として「一周」するとき、何を通過するのかということになります。仮に、地球の軸が、２３度傾いていない場合や、春分や秋分の時には、太陽に照らされて明るい部分と照らされないで暗い部分のあいだに境界ができます。

地球が自転すると、この境界は、段段移動して行き、結果的に、境界線は、地球を一周します。こうして、地球の全表面を通過して行くわけです。

このように一周して通過した面積はというと、４πｒ^2 つまり、もし地球の半径を１と考えると、４πということになります。

地球というのは、球の例として出したので、「球」と一般に言うと、半径１のものを考えるのが自然でしょう。「球を一周する」というのは、境界、つまり、経線とか、子午線が、球の表面を一周し、通過して行った面積です。

これが実は立体角の「全周」に当たるのですが、円の周りを一周というのと、アナロジーで、「球の回りを一周」、つまり、自転によって、４π分、通過して行き、これが球の表面積で、立体角の全周になるという話だったのだと思います。

お礼

皆さんどうもありがとうございました。

回答No.5

siegmund

私も立体角の話と思います．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=104353
の私の回答をご覧ください．

回答No.4

ymmasayan

昔の事で、うろ覚えですが、２πは角度の総和です。４πは立体角の総和です。

立体角と言うのは小さな円錐を考えます。角度が表面の長さを与えるなら、立体角は表面積を与えます。半径ｒで表面積ｒ＾２の時の立体角が基準単位となります。
立体角（微小円錐）をびっしりと敷き詰めると球になる事はお判りですね。
因みに、角度の単位はラジアン、立体角の単位はステラジアンです。

回答No.3

oshiete_goo

補足です.
下記URLは参考になるでしょうか.

参考URL：

http://www.ee.seikei.ac.jp/user/seiichi/lecture/MathColum/ColumA/a2/a2-4sangle.html

回答No.2

oshiete_goo

円周が2π(ラジアン)で, 球面全体の立体角が4π(ステラジアン)という話ではないですか?
先生が使われたのでしょうが,『1周』という表現は適切ではないように思えます.

回答No.1

Singollo

それは立体角のsr(ステラジアン)定義ですね
半径1の球の中心から開いた立体角を、球面と交叉したところで切り取る面積で表すわけです
1周ではなく全周(全立体)角だと思います