毛管現象に関する質問

質問

「科学」の中カテゴリーで同じ質問をしていましたが，十分に納得できないので，質問を締め切り，物理学のカテゴリーで質問させていただきます．
半径rの毛管を水面につけ表面張力によって高さhまで毛管内に水が上がってきたとします．毛管内には球面状のメニスカスができます．この球面に作用している力はこの面を上から押す下向き圧力P0，下から押す上向き圧力P，そして円周に沿って上向きに作用する表面張力σの鉛直成分σcosθです．このときの力の釣り合い式はπr^2P0=πr^2P+2πrσcosθなのですが，P,P0に関しては球面に作用する力なのに，πr^2として毛管の断面積をかけています．次元としては全ての項がエネルギーになりますが，この点がシックリ納得できません．球面に作用しているのに平面積をかけても良いのでしょうか？気持ち悪くて夜も眠れません．

回答No.1

Teleskope

>>　（大意） メニスカス面に作用している力は圧力差 Po－Pと、円周に沿った上向き表面張力σの鉛直成分σcosθです．力の釣り合い式は　πr^2(Po-P)=2πrσcosθ　なのですが，圧力は曲面に作用してるのにπr^2という平面をかけてあります．この点がシックリ納得できません． <<

１．思考実験
　丸いプラスチックフィルムを用意し、円周に多数の糸をつけてパラシュートを作ります。水を 1kg 入れて 糸ぜんぶをバネ秤で吊ります。フィルムがどんな形に脹らんでも 秤の表示は 1kg ですよね。　フィルムがフニャフニャでひどく伸びたとしても 秤の表示は同じですよね。
　これを、膜にかかる圧力ベクトルの分解で理解しましょう。縦成分と横成分です。
垂れ下がってる形の左半分と右半分とで、横成分は向きが反対なので打ち消されます。縦成分は；

　　　　　　　＼　　任意曲面の
横成分　_______ ＼微小面積dA
　　　　　　　　／| ＼
　　　　　　 ／θ|
　　圧力Pは　　縦成分=Fcosθ
　　面に垂直。
　　面を押す力F=PdA

　　縦成分 = Fcosθ
　　　　　　　= PdAcosθ
　　　　　　　= P(dAの射影成分）
　　　　　　　　　　　　　↑　↑
　　　　　　　　　　　　これが肝です。

縦成分はどこも下向きだから単純に足し算になります。つまり
　　縦成分の合計
　　　= P(面dAの射影成分 の合計)
　　　= P(任意曲面全体の底面積)
　　　= P(今の場合は管の断面積)

　ということで球面に限らず任意曲面です。（と言っても重力下の水だから自ずと限られますが。）　蛇足ながら、横成分が打ち消すとか 縦成分が単純和だというのは、水面が（ひどくひどく弱いけど）プラスチックのような膜で横方向のつながりがあって、ロープのように力を伝達する事による結果です。気体との違いですね。 なお、圧力差Po-Pを圧力Pと言っちゃってますが勘弁してください。

　余談；
実はメニスカスは天文用語なのでした。ギリシア語で　月＋育ち盛りの男児＝新月の細い三日月。液面を横から見るとこのネーミング納得するでしょう？これを書こうとレスしましたｗ

お礼

ご丁寧な解説でばっちり納得できました．ベクトルの正射影というものの使い方も始めて知りました．これでやっと枕を高くして寝られます．ありがとうございました．