逆冪集合ってあるの?

質問

集合Aの冪2^Aの存在は冪集合の公理から言えますが逆に
集合AにおいてAを冪集合に採るような集合B(つまり,2^B=A)という逆冪集合の存在は言えるのでしょうか?
言えるのならB=log_2^Aと表記するのでしょうか? 呼び方も逆冪集合と言うのでしょうか?

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

有限集合の範囲では無理ですね。
たとえば、A={0,1,2}の場合です。Aの基数は２の冪乗でなければなりませんね。要素の個数は０以上の正数でないと訳がわからなくなってしまいます。要素の個数が1.585個の集合って存在しますか？もし、存在すれば、任意の有限集合の「逆冪集合」が存在しそうです。
無限集合についてこのことを考えると面白いですね。このことは、連続体仮説とも関連することです。なんか、公理によってどうにでもなりそうな気もしますが・・・

お礼

有難うございました。大変参考になりました。

回答No.1

arrysthmia

集合Ｂが、ある集合Ａのベキ集合となるのは、
ＢがＡのベキ集合となるような集合Ａが存在するときだけ
ですね…って、これじゃ同語反復ですねえ。

具体的に、Ｂ = { φ, {φ}, {φ, {φ}} } が
他の集合のベキではないことは、検証できるでしょう？
{ {φ} } が、Ｂに属していませんからね。

お礼

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