関数が連続であることの証明

質問

関数f(x)＝｜x－1｜^3がx＝2で連続であることを定義に従って証明せよ。
という問題です。

∀ε >0, ∃δ >0 s.t. 0<｜x－2｜<δ　⇒｜f(x)－f(2)｜<ε　…(*)
このとき、lim[x→2]f(x)＝f(2)となって、f(x)はx＝2で連続といえる。
よって、(*)が成り立つことを示せばよい。
0<|x－2|<δのとき、
｜f(x)－f(2)|＝|｜x－1|^3－1|＝???

…この|｜x－1|^3－1|の計算ってどうやるのでしょうか？
絶対値がよくわからないです。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

連続の定義に従って証明すると、

δ＜1　かつ　δ≦ε/7
となるようにδを定めれば、
|x-2|＜δ＜1
-1＜x-2＜1
1＜x＜3
なので、|x-1|=x-1

|f(x)-f(2)|=||x-1|^3-1|
　=|(x-1)^3-1|
　=|x^3-3x^2+3x-2|
　=|x-2||x^2-x+1|

|x-2|＜δ≦ε/7
|x^2-x+1|＜7　　（∵1＜x＜3）
より、
|f(x)-f(2)|＜ε/7*7=ε

お礼

非常に困っていたので本当に助かりました。
心から感謝申し上げます。

回答No.2

naniwacchi

xを 2の近傍として扱っているのであれば、
x-1＞0としてよいのではないでしょうか？

回答No.1

sono0315

>>関数f(x)＝｜x－1｜^3がx＝2で連続であること

x=2のときは絶対値の中身x－1＞０であるから
f(x)＝(x－1)^3がx＝2で連続であることを証明しても同様と
考えるのはダメなんでしょうか。

y=x^3が全ての点で連続なのは自明。
同様に、y=(x-1)^3とx方向に1だけ平行移動しても連続

お礼

なるほど！
どうもありがとうございました。