一様連続の証明

質問

1/(1＋x^2)がＲ上一様連続であることを示せという証明ができません。お手数ですが教えてください。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

おぉっ、補足してくれたのですね。

まず、直感的な理解になりますが、f(x)=1/(1＋x^2)　ってのは、
x=0で最大値1をとり、全域で正で、±∞付近では０に漸近する、とてもなだらかな曲線ですよね。
そして、その傾きは、一番きついところでも±１を超えないわけです。
ということは、一様連続なのは「直感的には明らか」ですね。

あとは、それをε-δで書き下せばよいわけですね。
このとき、εに対応するδの選択が面倒なわけですが、上記のような直感的な理解を助けとすれば「傾きの最大は１を超えない」→「ｆ（ｘ）＝ｘと同程度のδを選べばよい」
→「existδ=εとすればよい」と回答の方針を決定できます。

あとは、ご存知のとおり、
｜1/（1+ｘ１^2）-1/（1+x2^2)｜＜εを示せばよいのですが、あいにくゴリゴリ計算する時間が今ないので、後で（後日？）、時間がとれたら、変形を書き下したいとおもいます。

あるいは、ｆ’（１次導関数）の絶対値の最大値（多分１以下です）を求めれば直接的な変形をしなくても、
｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）/（ｘ１－ｘ２）｜＜１が全域で示せるので
そのほうが容易かもしれません。

回答No.3

funoe

（下ごしらえ）
ｇ（ｘ）＝｜２（ｘ+1）/（1+ｘ＾２）＾２｜は、ｘ→±∞で、ｇ→+０なので、Ｒ上最大値を持ち、その最大値をＭとする。

（証明）
∀εに対し、δ＝ε/Ｍとおけば、
｜ｘ１-ｘ２｜＜ｍｉｎ（δ、１）のとき、　　　　　（ｘ１＜ｘ２と置いても一般性を失わず、ｘ２＝ｘ１＋ｔとするとｔ＜１）
｜ｆ（ｘ１）-ｆ（ｘ２）｜
＝｜（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１-ｘ２）/（１＋ｘ１＾２）（１＋ｘ２＾２）｜
＝｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（ｘ１＋ｘ２）/（１＋ｘ１＾２）（１＋ｘ２＾２）｜
＜｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（ｘ１＋ｘ２）/（１＋ｘ１＾２）＾２｜
＝｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（２ｘ１＋ｔ）/（１＋ｘ１＾２）＾２｜
＜｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（２ｘ１＋１）/（１＋ｘ１＾２）＾２｜
＜δ＊Ｍ＝ε

//

回答No.1

funoe

補足要求です。

一様連続の定義は知っていますか？

f(x)=x　がＲ上一様連続であることを示せますか？

補足

定義は知っています。
f(x)=xが一様連続であるのは
allε>0,existδ=ε；x1,x2はＲに属し、lx1-x2l<δならばlf(x1)-f(x2)l=lx1-x2l<ε
であっていますか？自信はないんですけど。