積分は写像の一種と呼んでもいい?

質問

ずばり,
積分に就いての疑問なのですが積分を
∫〇dx,∫∫〇dxdy,∫ｃ〇dx+〇dy　という形で書きますが
これらは一体何なのでしょう?
写像の一種と呼んでもいいのでしょうか?
もし、写像の一種なら始集合と終集合はそれぞれ何になるのでしょうか?

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>写像の一種と呼んでもいいのでしょうか?
写像です．
定義域と値域はその文脈によって変わります．

例えば，区間[0,1]で連続な関数の集合をC([0,1])とします．
C([0,1])の元fは[0,1]上でリーマン積分可能ですので
写像 F を
F: C([0,1]) -> R
F(f) = ∫_[0,1] f(x) dx
で定めることができます．
このとき，写像Fは線型写像ですし， C([0,1])もベクトル空間なので，
この段階で（無限次元ですが）線形代数の枠組みにのります．
この写像を利用して，ノルムを定義して
C([0,1])に距離を入れたり，いろいろ進行させます．

多変数の場合も同様です．

お礼

貴重なご意見有難うございました。
今後の大切な資料にさせていただきたいと思います。

回答No.4

ringouri

通常の写像の定義では、不定積分は写像ではありません。

「積分」を定積分の意味に取れば、かなりのものは写像といえると思います。その場合は始集合は可積分関数の集合、終集合は広義の関数の集合となるかと思います。（厳密に述べるのは煩わしいので省略）
可積分関数で積分が有限確定になる場合でも、ある種の超関数では写像にならないことがあるかもしれません。（←よく理解していません。）

逆写像は一般には存在しません。微分と積分が逆写像の関係になるのは非常に特殊な条件の場合だけです。

お礼

ご回答有難うございます。

>通常の写像の定義では、不定積分は写像ではありません。

これは積分されたものは積分定数があり像が一つに定まらないから写像とは呼べないと解釈して宜しいでしょうか?

>「積分」を定積分の意味に取れば、
> かなりのものは写像といえると思います。

写像と言えない場合はどんな場合なのでしょうか?

回答No.3

jmh

積分定数があるから単純には写像にならないと思います。なので、差が定数の関数を同一視したら良いのかな。∫の始集合は、積分可能な関数全体じゃないかしら？　逆写像は、d/dx : f → f' だとは思いますが…。

お礼

貴重なご意見有難うございました。
今後の大切な資料にさせていただきたいと思います。

回答No.1

adinat

写像と呼んでよいでしょう。∫〇dxについて考えてみれば、これは関数に対して実数を対応させるような写像で、しかも線型なものです。一般に関数全体は無限次元になるので、これは無限次元線型空間上の線型汎関数とみなします。もう少し議論を簡単にするために、通常、定義域はL^1関数と呼ばれるものに制限することが多いです。L^1関数とは、dxに関して可測で（したがって積分なるものが定義できる関数であって）なおかつ∫|f|dx<∞となる（したがって∫fdxが有限値）ものを指します。このような関数たち全体に対して、||f||:=∫|f|dxはノルムになり、さらにこのノルムのもとL^1関数はバナッハ空間をなします。∫〇dxとは、このバナッハ空間上の線型汎関数とみなすのがもっとも自然であると思います。つまり∫〇dx：L^1∋f→∫fdx∈R、という分けですね。以上から積分は線型汎関数の一種だといえるわけです。定義域はL^1、値域はRです。

ベースになる空間が、局所コンパクトハウスドルフ空間であって、そこの上の正値線型汎関数を考えると、実はベース空間上に正値ラドン測度があって、その測度による積分がもとの正値線型汎関数に一致するようなものが一意的に存在するというリース（-マルコフ-角谷）の表現定理と呼ばれるものがあります。この意味では、積分とは正値線型汎関数そのものだ、といってもよいのかも知れません。

お礼

有難うございます。

>これは関数に対して実数を対応させるような写像で、
不定積分されたものは関数なのでは?
よって、関数に対して関数を対応させる写像だと思うのですが、、、、

例えば
関数f(x)=xの像∫f(x)dxはx^2/2+Cでこれは関数ですよね?