絶対値の計算

質問

|x-a|<1を|x|<=1＋|a|と式変形できますか？？
絶対値の性質使ってもわかりません＞＜
アドバイスください！

回答No.5

ujitaka · ベストアンサー

|x-a|<1という条件をよく考えてみましょう。これは、ｘとaの距離が
1より小さい範囲にあるということです。
aの値により場合分けして考えてみます。
a≧0のとき、
（a－1、a＋１)の間にｘはあり、この区間の中点は正なので、
　|x|<=|a＋1|＝|a|＋1
a＜0のとき、
（a－1、a＋１)の間にｘはあり、この区間の中点は負なので、
　|x|<=|a－1|＝－a＋1＝|a|＋1

回答No.4

mazoo

式変形はできると思います。
一般に
| |a|-|b| | <= |a+b| <= |a| + |b|
という関係が成り立ちますので、
| |x| - |a| | < | x - a | < 1
が言えて、
| |x| - |a| | < 1
から
-1 < |x| - |a| < 1
ですので、この左側の不等式で、両辺に|a|を足して
|x| < 1 + |a|
です。（等号をつけてもかまいません）

これは同値変形ではないので反対向きの命題を考えると、#2の方がおっしゃったような反例が出てきます。
(どこで同値変形が崩れているか考えてみてください)
今の場合は|x-a|<1　→　|x| < |a| + 1
のみを考えているので、成り立つのです。

回答No.3

yasu2209

すみません。素人なので的はずれかもしれませんが

|x|-|a|<|x-a| ・・・・(1)

が成立していませんか？

(1)が成立していれば

|x|-|a|<|x-a|<1 の左右を取り出して

|x|-|a|<1　

両辺に|a|を足して

|x|<1+|a|

までは変形できますね。

＝がつくのはよくわかりません。

回答No.2

analogue_brain

こんにちは

ちょっと、好奇心で質問覗いてみたんですが、

証明は難しいですが、
実数で、aが３のとき、ｘが１だとすると右のほうは成り立つけれども、右はなりたたのないので、証明にはなりませんが、少なくともそういう風に変形はできないということはいえるのではないでしょうか？私も絶対値の移項はできませんが。

|x-a|<1
から言えるのは、xとaの差はどちらが大きいか分からないけれども、その２つの差は１以下ということですよね、差が１以下であるから、その２つの数字のどちらかの絶対値に１を足すということは確かに足したほうが大きくなるということは言える。

ですから、変形はできませんが、
x-a|<1
のとき
|x|<=1＋|a|
は成り立つという証明はできるんではないでしょうか。

回答No.1

theisman

|y| < 1 なら、 -1 < y < 1 ですよね。
だから、
|x-a| < 1 なら、
-1 < (x-a) < 1
と考えて解けばいいのでは?