曲面の表面積を求めるには

質問

曲線ｙ＝sinxの　0≦x≦π/2　の部分をx軸のまわりに1回転して得られる曲面の表面積を求めるには？
公式はわかるのですが、積分がどうしてもできません。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

Ｓ＝2π∫[0,(π/2)]sinx√(1+((cosx)^2)dx
Ｓ/2π＝∫[0,(π/2)]sinx√(1+((cosx)^2)dx

　t=cosx
　dt=dx(-sinx)
　dx=(dt/(-sinx))

Ｓ/2π＝∫[0,(π/2)]sinx√(1+((cosx)^2)(dt/(-sinx))
　　　　＝-∫[1,0]√(1+(t^2))dt
　　　　＝∫[0,1]√(1+(t^2))dt

　　***********************

　　Ｒ＝∫［1/(√((X^2)+1))］dX

　　［(√((X^2)+1))］+X=T・・・T>0
　　【X/［√((X^2)+1))］＋１】dX=dT
　　【【X+［√((X^2)+1))］】/［√((X^2)+1))］】dX=dT
　　【T/［√((X^2)+1))］】dX=dT
　　【1/［√((X^2)+1))］】dX=dT/T

　　Ｒ＝∫［1/(√((X^2)+1))］dX
　　　　=∫dT/T
　　　　=logT
　　　　=log【［(√((X^2)+1))］+X】
　　　　ーーー
Ｑ＝∫√((X^2)+1)dX
　＝X√((X^2)+1)-∫［(X^2)/√((X^2)+1)］dX

　　　(X^2)/√((X^2)+1)
　　=［(X^2)+1-1］/√((X^2)+1)
　　=［√((X^2)+1)］-［1/√((X^2)+1)］

Ｑ＝∫√((X^2)+1)dX
Ｑ＝X√((X^2)+1)-∫［√((X^2)+1)］dX+∫［1/√((X^2)+1)］dX
Ｑ＝X√((X^2)+1)-Ｑ+Ｒ
２Ｑ＝X√((X^2)+1)+Ｒ
２Ｑ＝X√((X^2)+1)+log【［(√((X^2)+1))］+X】　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ｑ＝(1/2)X√((X^2)+1)+(1/2)log【［(√((X^2)+1))］+X】

　　　　**************************

Ｓ/2π＝∫[0,1]√(1+(t^2))dt
Ｓ/2π＝(1/2)t√((t^2)+1)+(1/2)log【［(√((t^2)+1))］+t】　[0,1]
Ｓ/π＝t√((t^2)+1)+log【［(√((t^2)+1))］+t】　[0,1]
　　　＝√2+log(√2+1)
Ｓ＝π（√2+log(√2+1)）

お礼

懇切丁寧な解答ありがとうございました。

回答No.1

info22

丸投げするのでなく、分かる範囲で解答を書いて質問してください。
表面積を求める積分公式位書けませんか？
そして表面積を与える積分の式を補足に書いて下さい。
その積分の積分の仕方がわからなければ分かる所までの書いて、
補足質問してください。

お礼

申し訳ありませんせした。積分記号の入力法がわからず、丸投げするような形になり、まことに申し訳ありませんでした。今後気をつけます。