確率変数の変換ですが。。。。。

質問

Xが区間(-1,1)上の一様分布とする。Xの分布関数を書き、さらに、Y=X^2とおいたときの確率変数Yの分布関数を求めるのですがさっぱり。。。です。是非、教えてください。宜しくお願い致します。

回答No.2

kony0

一様分布の分布関数が解けないということは、
・一様分布がなんなのかそもそも知らない
・分布関数がなんなのかそもそも知らない
のどちらなんでしょうか？
密度関数は、f(x)=1/2(-1<=x<=1)になるのはわかりますか？
分布関数は、F(x)=0 (for x<=-1), (x+1)/2 (for -1<=x<=1), 1 (for x>1)となるのはわかりますか？

また、Y=X^2よりP(Y<0)=0は明らかなので、G(y)=0 (for y<0)
以下、y>=0と仮定して、G(y)=P(Y<y)=P(X^2<y)=P(-√y<X<√y)=F(√y)-F(-√y)
だから、
G(y)=√y (for 0<=y<=1), 1 (for y>1)
これは、分布関数がなにかがわかっていることと、それを使えばX^2の分布関数が求められるよということが納得できればすぐに理解できると思います。

回答No.1

nubou

確率変数Ｘの密度関数をｐ（ｘ）とし
確率変数Ｙ＝Ｘ＾２の分布関数をＧ（ｙ）とする

ｐ（ｘ）＝１／２（－１＜ｘ＜１）かつｐ（ｘ）＝０（他）であり
Ｇ（ｙ）＝∫（ｘ＾２≦ｙ）ｄｘ・ｐ（ｘ）だから
ｙ≦０ならＧ（ｙ）＝０
０≦ｙ≦１ならＧ（ｙ）＝∫（－√（ｙ）≦ｘ≦√（ｙ））ｄｘ・ｐ（ｘ）＝√（ｙ）
１≦ｙならＧ（ｙ）＝１