数理統計学について。

質問

問題は、
表が出る確率pのコインをｎ回投げるとき、表がちょうどｋ回でる確率はどれだけですか です。

自分が考えた所は、ｎＣｋ × ｐのｋ乗 ×（１－ｐ）のｋ乗 です。

そこで、ｎＣｋ は ｎ！ / ｋ！（ｎ－ｋ）！と変換できます。
ここから、ｎを無限にとると考えて極限とりたいなと思うのですが、そうすると、ｐは１未満なので０に収束してしまいます。。。

何かヒントがほしいです。。。

回答No.2

kts2371148 · ベストアンサー

０に収束してしまうのは、よくよく考えてみると当然といえます。
例えば、

表が出る確率 1/2 のコインを 10 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 100 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 1000 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 10000 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
…

というように n を大きくしていくと、確率は０に近づくはずです。
また、

表が出る確率 1/2 のコインを 10 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 100 回投げるとき、
　　表がちょうど 50 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 1000 回投げるとき、
　　表がちょうど 500 回出る確率
表が出る確率 1/2 のコインを 10000 回投げるとき、
　　表がちょうど 5000 回出る確率
…

というように n を大きくしたとしても、やはり確率は０に近づきます。

＃１さんがご指摘の通り、

表が出る確率 1/2 のコインを 10 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/20 のコインを 100 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/200 のコインを 1000 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
表が出る確率 1/2000 のコインを 10000 回投げるとき、
　　表がちょうど 5 回出る確率
…

というように n を大きくすると、０でない一定値に近づきます。
（ポアソン分布に近づきます。）

でも、arirureron さんのイメージに近いのは、

表が出る確率 1/2 のコインを 10 回投げるとき、
　　表が 4 回以上 6 回以下である確率
表が出る確率 1/2 のコインを 100 回投げるとき、
　　表が 40 回以上 60 回以下である確率
表が出る確率 1/2 のコインを 1000 回投げるとき、
　　表が 400 回以上 600 回以下である確率
表が出る確率 1/2 のコインを 10000 回投げるとき、
　　表が 4000 回以上 6000 回以下である確率
…

というように n を大きくすると、０でない一定値に近づくのではないだろうか？
ということだと思うのですが、いかかでしょうか。
arirureron さんのイメージがそんな感じかどうかを確認できたら、
次に話を進めたいと思います。
（ただし、これはあくまでもイメージで、実際は違ったりしますが、
　そのことは後で書きたいと思います。）

補足

おぅぅ。。。。あぁぁ。。。。
うぅん、なるほどって感じですね。
やっぱりポアソン分布がカギですね。。。

回答No.4

Ishiwara

ｎを大きくするときに k がそのままだと、ｐが０に近づいてしまうのは当然です。ｋもｎに比例して大きくすれば、ｐは、ちょうどよいところにとどまるはずです。
この場合、ｎが有限の値ならば、２項分布ですが、ｎを無限にしたものをポアソン分布といいます。ポアソン分布で調べてください。

回答No.3

kts2371148

それでは、数式計算に入ります。

表が出る確率 p のコインを n 回投げるとき、
表がちょうど k 回でる確率を B(k) とすると、

B(k) = nCk p^k (1-p)^(n-k)

です。このとき、平均 μ 、分散 V 、標準偏差 σ を求めて下さい。
なお、

μ = Σ[k=0～n] k B(k)
V = Σ[k=0～n] (k-μ)^2 B(k)
σ = V^(1/2)

です。（念のためですが、Σは最後までかかります。）

平均はグラフの中心、標準偏差はグラフの水平方向の広がり具合を
表しますので、この数値を使ってグラフを調節すると、
グラフは一定の曲線に近づくはずです。
（結論を言えば、正規分布の曲線になります。）

回答No.1

zk43

nＣk×p^k×(1-p)^(n-k)です。
nを無限大にするとき、そのまま∞にするのではなく、平均npを一定に
保ったまま、nを無限大にするということです。
a=npとおくと、p=a/nで、これをnＣk×p^k×(1-p)^(n-k)に代入して
nを無限大にするとexp(-a)×a^k／k！となり、平均aのポアソン分布
の確率関数になります。
少し考えにくいかも知れませんが、pが小さく、nが大きい時は、二項分
布はポアソン分布で近似できるということです。
なので、上の極限をとる計算も近似計算であると思われると良いと思い
ます。