統計学

質問

表のでる確率がｐのコインを独立にｎ回投げるとき、表の出る回数が偶数回である確率をAnとする。
漸化式An+1＝ｐ＋An(１－２ｐ)・・・（ア）となることはわかったのですが、
{An}を係数にもつQ(ｔ)＝Σ（Aｎ＊ｔ＾ｎ）ｎ＝１～∞　｜ｔ｜＜１　　　　はどのように計算すればいいのでしょうか？？
（ア）の式の両辺にｔ＾ｎ＋１をかけてどうにかすればよいと思うのですがそこから先がわかりません。。どなたか教えてください。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

（ア）の式の両辺にt^(n+1)をかけると、
An+1*t^(n+1)＝ｐt^(n+1)＋An*t^(n+1)(１－２ｐ)
n=1～∞で和をとると、
Q(t)-A1*t=p*t^2/(1-t)+t*Q(t)(1-2p)
A1=1-pなので、Q(t)が導かれると思います。
Q(t)は確率母関数で、Qをn回微分して、Q(n)(0)=n!*Anとして、
逆に確率Anが求められるというものですね。
確率を直接求めるのは難しいけど、確率母関数が比較的簡単に決まる
とき、これを微分して（テイラー展開）逆に確率を求めるという手法
で、結構便利なものです。
こうしてみると、漸化式を解く一つの方法として使えるのかも。