マクローリン近似

質問

x^4までのマクローリン近似を求めよ（余剰項の詳しい形は不要）。

（１）cos2x
（２）3^x
（３）log(1-x^2)
（４）e^x-e^(-x)/2

という問題がありますが、マクローリンの公式は理解しているのですが、解けません。
お力お貸しいただけませんでしょうか？

回答No.1

T-gamma · ベストアンサー

単純にｆ(x)=与式とおいて、四階微分まで求めて公式に当てはめるだけだと思いますが・・・。
ex.)
(1)cos2x
f(x)=cos2x f(0)=1
f'(x)=-2sin2x f'(0)=0
f''(x)=-4cos2x f''(0)=-4
f'''(x)=8sin2x f'''(0)=0
f''''(x)=16cosx f''''(0)=16
よって
ｆ(x)≒1/0!+(0/1!)x+(-4/2！)x^2+(0/3!)x^3+(16/4!)x^4
＝1-2x~2+(2/3)x^4
(2)～(4)も同様です。（もちろん、微分はややこしくなりますが）
もしかして、微分の計算がうまくできないということでしょうか？

お礼

ありがとうございます！問題の意味が分かりました。
問1は理解でき、すっきりしました。

回答No.2

aquarius_hiro

(1) 2x を y とおいて、cos y の展開式に代入すれば、すぐに求まりますね。

(2) 3^x = e^(x log3) なので、e^(ax) の展開式に代入すれば求まります。

(3) y = -x^2 とおいて、log(1+y) の展開式に代入すれば求まります。

(4) マクローリンの公式にそのままあてはめれば簡単に求まります。マクローリンの公式を理解しているということなので、できない理由がわかりません。

お礼

全問解けました！ありがとうございます！！

補足

（２）f(x)=e^(x log3)とおいて
f(0)を求める場合、f(x)は1になるのでしょうか？