eの近似値

質問

eの近似値を求める際にわからないところがあります。

マクローリン級数の剰余項の部分が、Rn=e^p*x^(n+1)/(n+1)!で、n→∞のときRn=0になるらしいのですが、n→∞のとき、x^(n+1)<(n+1)になるのでしょうか？？

n→∞のとき、x^(n+1)<(n+1)が正しいのか教えていただきたいです。

意味不明な記述をしていたら、すみません。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> n→∞のとき、x^(n+1)<(n+1)になるのでしょうか？？

違います。
「n → ∞の時、x^(n+1) < (n+1)」となるとは限りません。
1 < xなら「n → ∞の時、x^(n+1) > (n+1)」となって
x^(n+1)の方が大きいことになります。

正しくは「n → ∞の時、x^(n+1) < (n+1)!」です。
これを発展させると「n → ∞の時、x^(n+1)/(n+1)! → 0」が示せます。
その結果「n → ∞のときRn = 0」となります。

ちなみに、「n → ∞の時、x^(n+1) < (n+1)!」が示せただけでは、
「n → ∞の時、x^(n+1)/(n+1)! → 0」とは言えません
(「n → ∞の時、2n - 150 > n」ですが、
「n → ∞の時、(2n - 150) / n → 0」ではないですよね)。
「n → ∞の時、x^(n+1)/(n+1)! → 0」を示すにはプラスアルファが必要です。

「n → ∞の時、x^(n+1) < (n+1)!」となる理由の大雑把な説明をしておきます。
xを(n+1)個かけあわせたものがx^(n+1)です。
1から(n+1)の合計(n+1)個の整数を掛け合わせたものが(n+1)!です。
nを1大きくするたびに、これらがどれだけ増加するのかを考えてみます。
すると

・x^(n+1)はx倍されます。
・(n+1)!は約n倍されます。

つまりnがxを超えるようになると
「x^(n+1)の増加の割合」より
「(n+1)!の増加の割合」の方が大きくなります。
結果、nをどんどん大きくするといずれ「x^(n+1) < (n+1)!」となります。
実はこの考えを元にすると、「n → ∞の時、x^(n+1)/(n+1)! → 0」も示せます。

お礼

ありがとうございます！
理解することができました。

ちなみに、「n→∞のとき、x^(n+1)<(n+1)になるのでしょうか？？」の部分はコピペミスでした。コピペした際に「！」が抜けてしまったみたいです。

ただ「n → ∞の時、x^(n+1) < (n+1)!」となる理由を説明していただけたので、疑問自体は解消できました。