調和振動子の規格化の時の積分公式を教えてください。

質問

∫[∞～-∞]exp(-x^2/b^2)=π^(1/2)b
∫[∞～-∞]x^2exp(-x^2/b^2)=π^(1/2)b^3
[]は積分範囲です。
だそうです。
上式のようにxの指数が１乗した時と３乗した時しか分かりません。
ｘの指数をn乗した時（下式）
∫[∞～-∞]x^nexp(-x^2/b^2)=?
の場合を教えてください。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

奇数の場合は被積分関数が奇関数になりますから、[∞～-∞]の積分範囲なら当然ゼロですね。
気がつかずに質問文のままコピーしてしまいましたが、
奇関数の場合は積分範囲が[∞～0]である時だけ積分する意味がありますので

∫[∞～0] ｘ exp(- a x^2)dx

からスタートです。

お礼

ありがとうございます。
１でも２でも偶数乗の場合は解けました。
n=1の[∞～0]の場合。
∫[∞～0]xexp(-x^2/b^2)dx=-(b^2/2)∫[∞～0](exp(-x^2/b^2))'dx=-(b^2/2)[exp(-x^2/b^2)][∞～0]=b^2/2
となるのですが、偶数乗の時は√πがつくのに、奇数乗の場合は√πがつかないのは不思議です。
とりあえず、∞～-∞という定義で問題が出されているので、奇数乗の場合は奇関数で０になるということで問題は解決できたので良かったです。

回答No.1

hitokotonusi

上の式は0乗と二乗ですが…それはおいといて

調和振動子に限った話ではないですが

1. 指数関数exp(-x^2/b^2)を微分すると

(exp(-x^2/b^2)) ' = -(2/b^2) x exp(-x^2/b^2)

であることを利用し

∫[∞～-∞] x^n exp(-x^2/b^2) dx = ∫[∞～-∞] x^(n-1) x exp(-x^2/b^2) dx
　　　= -(b^2/2)∫[∞～-∞] x^(n-1) (exp(-x^2/b^2))' dx

から部分積分を繰り返すことで求める。

2. a=1/b^2 とすると最初の式は

∫[∞～-∞]exp(- a x^2)dx = (π/a)^(1/2)

この左辺をaで微分すると

(d/da)∫[∞～-∞]exp(- a x^2)dx = -∫[∞～-∞] x^2 exp(- a x^2)dx

となるので、両辺をn回aで微分するとx^2nの場合が求められる。

xの冪が奇数の場合は∫[∞～-∞] ｘ exp(- a x^2)dx からスタートする。

このどちらかで求めます。

公式だけが知りたいなら、公式集などを見ましょう。

補足

そうですね。
０乗と２乗の間違いですね（汗）
1番の場合なんですけど、n=1の場合
∫[∞～-∞]xexp(-x^2/b^2)dx=-(b^2/2)∫[∞～-∞](exp(-x^2/b^2))'dx=-(b^2/2)[exp(-x^2/b^2)][∞～-∞]=0
になっちゃう気がするんですけど、もし分かったら教えてください。
2番の場合は解けましたけど、∫[∞～-∞]xexp(-x^2/b^2)dxの答えが分からないので、奇数の場合が求まりません（ＴＴ）