調和振動子

質問

Ｄ：エイチバー
　　　α：√(ｍω／Ｄ)
　　　ｑ：αｘ
１次元調和振動子のｎ＝０の場合の固有関数
　φ0(x)＝(ｍω／πＤ)^1/4×exp(-q^2／２)　
　　　　＝(ｍω／πＤ)^1/4×exp(-mωx^2/２D)
を使って
　位置の期待値　<ｘ>＝∫ｘ│φ0*│^2　dx
　運動量の期待値　<Ｐx>＝∫φ0*(-iDｄ/dx)φ0 dx
　位置の二乗の期待値　<ｘ^2>＝∫ｘ^2│φ0│^2 dx
　運動量の二乗の期待値　<Ｐx^2>＝∫φ0*(-iDｄ/dx)^2φ0 dx
の４つを計算したいのですが、ややこしくて出来ません。
どなたか、計算してみてください。
因みに、答えは『０、０、D/２mω、mωD/２』になる筈です。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

vortexcore さんの書かれているように
> ややこしくて出来ません
の具体的内容を書かれた方が回答も書きやすいでしょう．

期待値を求める方法はご存知のようですから，あとは積分だけですね．
<x> と <Px> は本質的に

(1)　　∫{-∞～+∞} t exp(-t^2) dt

の計算ですね(t = q/√2)．
これは t^2 = z とおけばすぐに計算ができます．
でも，Umada さんご指摘のように，奇関数の{-∞～+∞}積分ですから，
計算するまでもなく答はゼロです．
調和振動子は右に行ったり左に行ったりの繰り返しで，
対称性を考えれば位置も運動量も正の場合と負の場合が同じ確率で現れますから，
期待値はゼロ，というのが物理的意味です．

<x^2> と <Px^2> の期待値の計算では

(2)　　∫{-∞～+∞} exp(-t^2) dt
(3)　　∫{-∞～+∞} t^2 exp(-t^2) dt

の計算が必要です．
(2)は有名な積分(ガウス積分)で √π であることが知られています．

(2')　　∫{-∞～+∞} exp(-t^2) dt = √π

(2')で，t^2 = az^2 とおきますと

(2'')　　∫{-∞～+∞} exp(-az^2) dz = √(π/a)

となり，(2'')の両辺を a で微分してから a=1 とおけば

(3')　　∫{-∞～+∞} z^2 exp(-z^2) dz = (1/2) √π

が得られます．これで(3)の積分は解決．
あとは係数の調整だけですので，
自分で手を動かしてみてください(これが大事です)．

Umada さんの言われるように，x と Px の線形結合を使った演算子を用いると
簡単ですが，たしかに概念的にとっつきにくい気はします．

調和振動子では運動エネルギーの期待値とポテンシャルエネルギーの期待値が
等しいこと，および基底状態のエネルギーが (1/2)Ｄω であること，
を使ってよいなら，

(4)　　<Px^2>/2m = (1/4)Ｄω　　(運動エネルギー期待値)
(5)　　(k/2) <x^2> = (1/4)Ｄω　　　　(ポテンシャルエネルギー期待値)

です．k はばね定数で，ω^2 = k/m．
(4)＝(5) で，(4)+(5) が(1/2)Ｄωになっています．
これから簡単に <Px^2> と <x^2> が出ますね．
でも，これは反則かな？

おまけに(2')の導出(よく本に載っています)：

(6)　　I = ∫{-∞～+∞} exp(-t^2) dt

として

(7)　　I^2 = ∫{-∞～+∞} exp(-t^2) dt ×∫{-∞～+∞} exp(-y^2) dy
　　　　　 = ∫{-∞～+∞} dx∫{-∞～+∞} dy exp{-(x^2+y^2)}
　　　　　 = ∫{r=0～+∞} ∫{θ=0～2π} exp(-r^2) r dθ dr
　　　　　 = 2π ∫{r=0～+∞} exp(-r^2) r dr
　　　　　 = π

から(2')が直ちにわかります．
(7)で２行目から３行目に移るところは，
(x,y) 座標から (r,θ) の極座標に変換しました．

回答No.2

Umada

vortexcoreさんのおっしゃるように、1次元調和振動子の問題の解き方は量子力学の教科書・演習書ならまず大抵載っています。ですからそれを見るのが早いです。
exp(-x^2)が入っているのが厄介のタネですよね。この形が出てきたら数学公式集の力を遠慮なく借りるべきです。
なお位置と運動量については既に答えの見当も付いていますし、関数の対称性(積分の中身が奇関数)を使えば実際の積分はしなくても答えは0と求められますよね。

もう一つは演算子を用いる方法です。演算子の考え方は最初はとっつきにくいですが、波動関数φn(x)の直交性をうまく使うことで積分は全く行わず、驚くほど簡単に解を求めることができます。教科書の2ページ分くらいの量ですがここではちょっと書き切れませんのでご自身で教科書・演習書を読んでみて下さい。
私がいま手許で調べたのは　小出昭一郎, 基礎物理学選書5A「量子力学(I)」, 裳華房(1969)　です。一次元調和振動子で<x^2>を求める例題が載っていました(p. 44)。

回答No.1

vortexcore

サイエンス社の藤原、岡崎著「演習量子力学」（黄色い本）の37ページに（一般的な場合の）答えがありますので、レポートの答えならここを写せば良いのではないでしょうか。ただ、教官というのはたいていの参考書はパラパラと読んでるので、丸写しではばれると思いますが。

積分のどの部分が解らないのか書いていただければ、具体的なアドバイスが出てくると思います。