最大公約数と最小公倍数

質問

最大公約数と最小公倍数がイマイチ理解できません。
そこで、「３６と１２０の最大公約数と最小公倍数の値を求めよ」という問題を解説も備えて解き方を教えてください！

回答No.7

anokeno · ベストアンサー

No.３＆６です

３時間目「最小公倍数」です（笑）

最大公約数を１２とします
もちろん　２×２×３　でもいいけど

　３６の倍数は　１２×３×？
１２０の倍数は　１２×１０×？？

これが　同じ数で　一番小さいもの　なので

　　　　　　　　？は１０
　　　　　　　？？は３

というわけですが
これでも　だめだったら　引っ込みます
同じような問題を　たくさん　やっていけば
だんだん　理解できるようになると思いますが

回答No.6

anokeno

No.３です
質問の意味に的確に　答えられなくて　すみません
なので　再度

最大公約数について
約数は　それを　割り切れる　整数のことです
公約数は　両方を　割り切れるっていうことで

　３６＝２×１８
１２０＝２×６０
なので　まず　２　が公約数

次に
　３６＝２×２×９
１２０＝２×２×３０
なので　２×２　も　公約数

　３６＝２×２×３　　×３
１２０＝２×２×３　　×１０
　　　　２×２×３　も　公約数

これ以上　両方を割れる数はないので
　　　　２×２×３
が　最大公約数です

最小公倍数については　これから　でかけるのでまた後で
m(__)m

回答No.5

oz-boshin

例題から説明してみますね。

36に、１，２，３，４・・・と自然数を掛けていきます。すると、
36、72、108、144・・・となりますね。
これらは、36にそれぞれ１，２，３，４・・・を掛けていった数なので、
これらを「36の倍数」といいます。
同じように、120に自然数を次々掛けて言った数字（120,240,360,480・・・）を
「120の倍数」というのです。
ところで、36の倍数と、120の倍数には共通する数字がありますよね。36に10を掛けた360と、120に３を掛けた360とか、
36に20を掛けた720と、120に６を掛けた720などです。
これらの数は、36の倍数でもあり、又、120の倍数でもあるので、「36と120の公倍数」というのです。
で、その中でも、最も小さいものを「36と120の最小公倍数」といって、この場合は360がそれに当たります。

次に、約数について説明します。
ある自然数ｎに対して、
またある自然数ｍでｎを割り切ることの出来る数字を、「ｍはｎの約数」といいます。
36の場合は、１，２，３，４，６，９、12,18,36がそれぞれ「36の約数」なわけです。
同じように、「120の約数」は、１，２，３，４，５，６，８、10，12，15,20,24,30,40,60,120です。
ここで、「36の約数」と、「120の約数」を見比べてみましょう。これらの中に、共通する数字がありますね。
１、２、３，４，６，12がそうです。これらは、36の約数であり、又、120の約数でもあるので、
「36と120の公約数」となります。
さらに、この中で最大の数を「36と120の最大公約数」といいます。

それぞれの求め方は、これ以前の回答の通りです。

なお、余談ですが、最小公倍数、最大公約数は意味のある数字なので、
よく取り上げられますが、最大公倍数、最小公約数は意味のない数字なので取り上げられません。
なぜなら、最大公倍数は上限がなく
（36と120の公倍数は360，720，1080，1440・・・と永遠に続く）、
最小公約数はどのような自然数の組合せでも絶対に１だからです。

逆に、こういうこともあります。上の例で説明すると、
36×120＝4320
ところで、この２数の最小公倍数と最大公約数を掛けると、
12×360＝4320
と、２数の積と一致します。

これの証明は恐らくどこかにあるでしょう。どうしても見つからない場合に限り、又質問してください。

回答No.4

ko-ka

両方の数を素数（その数と１以外で割り切れないもの）で割っていくと答えにたどり着きます。

素数は2、3、5、7、11、13、17、23・・・と続きます。

例題の場合
36=2×2×3×3
120=2×2×2×3×5
となります。

最大公約数は両者に共通のもので2×2×3=12
最小公倍数は両者の合計（共通は１つとして）2×2×2×3×3×5=360

こんな感じでいかがでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます！
解き方はわかりましたが、なぜそのように解くのかがわかりません。是非教えてください！
（本当に基礎からわかっていなくてゴメンなさい）

回答No.3

anokeno

３６＝２×２　　×３×３
　　　　　１２０＝２×２×２×３　　×５

最大公約数は　２×２　　×３
最小公倍数は　２×２×２×３×３×５

説明
１、まず　与えられたそれぞれの数を素数分解してみます
２、最大公約数は　両方に共通な素数を全部かけたもの
３、最小公倍数は　片方だけに出てくる素数もかけたもの
という感じで　いかがですか

お礼

回答ありがとうございます！
解き方はわかりましたが、なぜそのように解くのかがわかりません。是非教えてください！
（本当に基礎からわかっていなくてゴメンなさい）

回答No.2

noname#21343

最大公約数＝公約数の中で最大のもの
最小公倍数＝公倍数の中で最小のもの

公約数＝二つ以上の整数に共通の約数
公倍数＝二つ以上の整数に共通の倍数

約数＝ある整数を割り切ることができる整数
倍数＝ある整数の何倍かになっている数

これだけ書いとけばＯＫかな。がんばれ、受験生（汗）。

お礼

詳しく書いていただきありがとうございます！
定義は良く理解することができました♪

回答No.1

Tacosan

「公約数」というのは「2つ以上の数に共通する約数」で, そのうち最大のものが「最大公約数」.
「公倍数」というのは「2つ以上の数に共通する倍数」で, そのうち最小のものが「最小公倍数」.
どこにも理解できないところがないような気がしますが....

お礼

回答ありがとうございます！
定義は良く分かりました♪
でも実際問題になるとわからなくて。。。