微分方程式の解方

質問

途中の式の抜粋になるので
足りない条件があるかもしれませんがお願いします。

X"(x)-(λ^2)X(x)=0
Y"(y)+(λ^2)Y(y)=0
が得られ、これらの一般解が
X(x)=c1sinhβ(c2-x)
Y(y)=c3cosβy+c4sinβy
が得られY(0)=Y(b)=0よりc3=0,sinβb=0
よって
βb=nπ　　

とあったのですが何故そう成るのか分りません。
Y(0)=Y(b)=0は元々の条件として与えられているようです。
どなたか分る方教えてください。お願いします。

回答No.5

oshiete_goo

cosh(x)=cos(ix), sinh(x)=(1/i)sin(ix)
で大丈夫そうですね.

ところで, 双曲線関数の合成は|coshθ|>|sinhθ|のせいでしょうが, 実関数で書こうとすると
Acoshθ+Bsinhθ
=√(A^2-B^2)cosh(x+tanh^(-1)(B/A) [|B|≦A] または
√(B^2-A^2)sinh(x+tanh^(-1)(A/B) [|A|≦B]
(岩波公式集より)
となるようですね．実際はみんなどーせ複素関数でやってるので誰も気にしてないと思いますが．

回答No.4

kony0

Xのほうも一般解の導出を「愚直に」計算すると、
Yとまったく同じ手法でX(x)=(1/2λ)*{C5*e^(λx)-C6*e^(-λx)}が言えます。
あとはこれをごちゃごちゃ計算すればcosh, sinhの合成によりX(x)=c1sinhβ(c2-x) のような形に化けるみたいです。
私はcosh, sinhは苦手なので、cosh(x)=cos(ix), sinh(ix)=(1/i)sin(ix)のようなものを形式的に考えて三角関数の諸公式を使おうかなと思うのですが・・・こういう方法って間違ってないんですっけ？（逆に質問です）

お礼

２度目の回答ありがとうございます。
Yと同じに解けるとは、言われてみれば確かにそうですね。

cosh,sinhの話ですが
逆に質問とは驚きました。
お世話になったので
お答えしたいんですが、同じく苦手（苦手なのは数学全体ですが）なので、なんとも言えません。
いい加減な事もいえませんし...すみませんm(__)m
出来れば、別の方に答えて貰いたいです。

回答No.3

oshiete_goo

X"(x)-(λ^2)X(x)=0
の方ですが, これもX"(x)-(β^2)X(x)=0
でよければ, coshβx と sinhβx の線形結合で
一般解はX(x)=p・coshβx+q・sinhβx
となり, これを双曲線関数の加法定理で書き換えたと思うか,
もっと直接的には,
X=k・sinh{β(x-x0)}は2回微分して β^2・k・sinh{β(x-x0)}＝β^2・X
かつ2つの任意定数k,x0を含むから一般解で，
k=-c1, x0=c2 ととった場合が X(x)=c1sinhβ(c2-x)
です．[sinhθは奇関数より．]
ただし, なぜわざわざ(c2-x)の形にとったのかは不明で，境界条件などに合わせ易いようにと思われますが，前後を調べてみてはいかがでしょう．

お礼

２度目の回答ありがとうございます。
なんとか分りそうです。

（c2-x)の形にとったのは推測どうり、境界条件の関係で
この後の展開が楽になるからのようです。

回答No.2

kony0

微分方程式なんて久しく解いてないので、愚直に計算してみます。
　Y"(y)+(λ^2)Y(y)=0
→Y"(y)+iλY'(y)=iλ{Y'(y)+iλY(y)}, Y"(y)-iλY'(y)=-iλ{Y'(y)-iλY(y)}
→Y'(y)+iλY(y)=C3*e^(iλy), Y'(y)-iλY(y)=C4*e^(-iλy)
→Y(y)=(1/2iλ)*{C3*e^(iλy)-C4*e^(-iλy)}・・・Y(y)の一般解
Y(0)=0よりC3=C4(=C), Y(b)=0より(C/2iλ)*{e^(iλb)-e^(-iλb)}=(C/λ)sin(λb)=0
よって、λb=nπ

Y(y)についての微分方程式はいわゆる単振動の形なので、いきなりY(y)=Csin(λy+φ)と書けるのかもしれませんね。慣れた人だと。。。

ところで、λがいつのまにかβに文字化けしているだけで、あとは特に凝ったことはしていないと思われます。

ということで、どの個所がわからなかったのかがいまひとつよく伝わってきませんが。。。一般解がY(y)=c3cosλy+c4sinλyとなるのがわからなかったのか、これはわかったもののそのあとがわからなかったのか・・・（おそらく一般解の導出方法なのでしょうが）

お礼

さらに詳しい回答
ありがとうございます。

Yの一般解の導出方法がよく分りました。
単振動の形にも全く気付きませんでした。

βはλの文字化けですか....
確かにはっきりとした式を見てみると
そうとしか考えられないですね。

回答No.1

oshiete_goo

疑問点がはっきりしないのですが,
具体的にはどの点が不明なのでしょう.
例えば, 元の問題でλは意味不明で(λ=β?), βなら
Y"(y)+(β^2)Y(y)=0 の一般解はY(y)=c3cosβy+c4sinβy
と書けますが, これを承認すれば, あとは
Y(0)=c3=0 と Y(b)=c3cosβy+c4sinβy=c4sinβb=0 から
[c4=0とするとc3=c4=0となり恒等的にY(y)=0となるので]
c4≠0 とすると sinβb=0 ⇔ βb=nπ
も示せます.

お礼

早速の回答
ありがとうございます。

Yの一般解の導出方、βb=nπとなる訳は
おかげざまで
良く分かりました。

補足

λについて補足します。
偏微分の記号がでなかったので分り難い書き方ですが

２次元ラプラス方程式
Δu=(uのｘでの２回偏微分）＋（uのｙでの２回偏微分）
=0
に対してu(x,y)=X(x)Y(y)と変数分離し
X"(x)/X(x)=-Y"(y)/Y(y)=λ^2
と置いています。

まだ
Xの一般解の導出方とλ＝βとして良いのか
が分らないのですが、よろしくお願いします。