ラグランジェ方程式を計算し、運動方程式へ

質問

表題の作業をしているのですが、その課程で、どうしても答えの合わない部分があるので、教えていただきたいと思います。

d/dt(∂K/∂θ2’)-(∂K/∂θ2)=τ2

というモノなのですが、

K=1/2m{L^2*θ1^2’+L2^2*(θ1’+θ2’)^2+2*L1*L2*cosθ2*θ1’*(θ1’+θ2’)}

から、私の計算では、

d/dt(∂K/∂θ2’) = m*{L2^2*(θ1’’+θ2’’)-L2*L2*{θ1^2’*θ2’*sinθ2+θ1’*θ2’*sinθ2+θ1^2’’+θ1’’cosθ2}

また、

(∂K/∂θ2)=-m*L1*L2*{θ1^2’*θ2’*sinθ2+θ1’*θ2^2’*sinθ2}

となりました。

τ2=(m*L2^2+m*L1*L2*cosθ2)*θ1’’+m*L2^2*θ2’’+m*L1*L2*θ1^2’’*sinθ2

というのが正解だそうですが、このτ2にはなりません。
私の計算のどこがどう間違っているのか、教えてくださるとありがたいです。
式が読みにくくて申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27

何をどう計算したかが分からないので、どこでどう間違ったかは全く分かりませんが、正しくは、
d/dt(∂K/∂θ2’) =m{L2^2(θ1’’+θ2’’)-L1L2(sinθ2 θ2’ θ1’+cosθ2 θ1'')}
∂K/∂θ2=-mL1L2sinθ2 θ1’ (θ1’+θ2’)
です。

こういうややこしい式を計算する時には、途中で次元をチェックするといいですよ。θはおそらく無次元の量だと思いますので、その次元は省略しますが、
>d/dt(∂K/∂θ2’) = m*{L2^2*(θ1’’+θ2’’)-L2*L2*{θ1^2’*θ2’*sinθ2+θ1’*θ2’*sinθ2+θ1^2’’+θ1’’cosθ2}
の右辺のL2^2を含む項は、L^2/時間^2の次元を持っています。にも関わらず、その後ろにはL^2/時間^3やL^2/時間^4のような次元を持つ項がありますよね。少なくとも、この辺の次元がおかしくなった所で間違えているはずです。

お礼

ご回答、ありがとうございました！

こちらを参考に計算し直してみたところ、偏微分の計算を合成関数の微分と勘違いしていた部分があり、そこからズレ始めていたようでした。

＞途中で次元をチェックするといいですよ。
今後、参考にさせていただきます。