ベクトルの内積と成分の問題で。。。

質問

aベクトル=(2,1,2),bベクトル=(0,1,1),cベクトル=(1,2,0)である。
この問題小問１でeベクトル=(2/3,1/3,1/3)を、
小問２でfベクトル=(2/3,-2/3,-1/3)を出しました。
それで小問３なんですが、
gベクトル・eベクトル=0,gベクトル・fベクトル=0,|gベクトル|=1を満たすgベクトルのうち、cベクトルとの成す角が鋭角なものを求めよという問題です。
gベクトル=(1/3,2/3,-2/3)が解答なのですが、どうして
gベクトル=(1/3,2/3,2/3)がだめなのかよく分かりません。
おそらく「cベクトルとの成す角が鋭角なものを」というところがポイントだとおもうのですが、お分かりの方、ぜひ教えてください！

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

まず、質問の記述が間違っていませんか？
＞gベクトル・eベクトル=0,gベクトル・fベクトル=0,|gベクトル|=1を満たすgベクトルのうち

　ここは、g・a＝g・b＝０　（ベクトルを示す表記は省略します。）だと思うのですが。
　そうでないと、問題の回答のようなｇは出てきません。

　さて、問題の設定が、g・a＝g・b＝０　だとすると、「gベクトル=(1/3,2/3,2/3)」が出てきたのは、単なる計算間違いでしょう。
　ｇ＝(x,y,z) とすると、
　　g・a＝2x+y+2z＝０
　　g・b＝ y+z＝０
ですから、これらを連立すると、次の比が得られます。
　　ｘ：ｙ：ｚ＝１：２：－２　　　　←　ここで間違えたのでは？
　ここで、比例定数ｋをつかって、ｇを表すと、
　　ｇ＝(k,2k,-2k)
となります。
　ｃとのなす角をθとしますと、θが鋭角なので、その余弦は正でなければなりません。
　　cosθ＝ｇ・ｃ／(|g||c|)＝(k+4k)/(|k|√5)＝k/|k|・√5＞０
　∴ｋ＞０
　あとは、ｇが単位ベクトルになるようにｋ＞０の範囲で係数ｋを求めると、
　　√{ k^2+(2k)^2+(-2k)^2 }＝3k＝１
　∴ｋ＝1/3
とないますので、ｇが
　ｇ＝(1/3. 2/3, -2/3)
と求められます。

回答No.1

atushi256

なにか、質問を書くときに、間違えておられませんか？

e=(2/3,1/3,1/3)
g=(1/3,2/3,-2/3)
としたとき、g・e=2/9ですから、0にはなりません。
また、c=(1,2,0)だとすると、g=(1/3,2/3,±2/3)の符号がどちらであっても、内積の値は変わりませんので、どちらでもいいはずです。
よって、鋭角であるかどうかはあまり関係ないと思います。

もしかして、e=(2/3,1/3,2/3)ではないでしょうか？
そうであるとするならば、g=(1/3,2/3,+2/3)としてしまうと、g・f=0ではなくなってしまうので、答えではありません。
よって答えとして考えられるのは、g=(1/3,2/3,-2/3)もしくはg=(-1/3,-2/3,+2/3)のどちらかです。
鋭角であるという条件から、0≦c・gでなければなりませんので、g=(1/3,2/3,-2/3)となります。