空間ベクトル2

質問

四面体OABCの辺OA、AB、BC、COの中点をD、E、F、Gとする。また、DFとEGの交点をHとする。そして、直線OHが△ABCと交わる点をIとする。A、B、CのOに関する位置ベクトルをそれぞれベクトルa、ベクトルb、ベクトルcとするときベクトルOH、ベクトルOIをベクトルa、ベクトルb、ベクトルcを用いて表せ。

解答よろしくお願いします。

回答No.2

rabbit-kinako · ベストアンサー

図を添付しましたので、そちらも参照してください。

Oを始点とするベクトルを、OA→=a→、OB→=b→,OC→=c→などと表す。
点D,E,F,Gは、それぞれ線分OA,AB,BC,COの中点であるから
OD→=d→=(1/2)a→，OE→=e→=(1/2)(a→+b→)，OF→=f→=(1/2)(b→+c→)，
OG→=g→=(1/2)c→ と表せる。・・・※

(以下では、OH→を2通りに表すという一般的な解法で解きます。)

図のようにDH:HF=t:(1-t)とおくと、
OH→=tOF→+(1-t)OD→
=t{(1/2)b→+(1/2)c→}+{(1-t)/2}a→ (∵※)
={(1-t)/2}a→+(t/2)b→+(t/2)c→　　　・・・(1)

また、EH:HG=s:(1-s)とおくと
OH→=sOG→+(1-s)OE→
=(s/2)c→+(1-s){(1/2)a→+(1/2)b→} (∵※)
={(1-s)/2}a→+{(1-s)/2}b→+(s/2)c→　　　・・・(2)

a→,b→,c→はそれぞれ一次独立であるから、(1)と(2)のb→とc→の係数を比較して
t/2=(1-s)/2
t/2=s/2

これを解いて。s=t=1/2
t=1/2を(1)に代入して
OH→=(1/4)a→+(1/4)b→+(1/4)c→　　　・・・（答）

点Iは直線OH上にあるので、OI→=k(OH→)と表せる。
これに、上で求めたOH→=(1/4)a→+(1/4)b→+(1/4)c→ を代入して
OI→=(k/4)a→+(k/4)b→+(k/4)c→　　　・・・(3)
ここで点Iは平面ABC上の点でもあるから
OI→におけるa→, b→, c→の係数について
(k/4)+(k/4)+(k/4)=1が成り立つ。
これを解いて、k=4/3
これを(3)に代入して
OH→=(1/3)a→+(1/3)b→+(1/3)c→　　　・・・（答）

お礼

やっと理解できました。

ありがとごさいましまた。

回答No.3

noname#139365

点HはDF上の点だから
↑OH=(1-t)↑OD+t↑OF
={(1-t)/2}↑a+t(↑b/2+↑c/2)
={(1/t)/2}↑a+(t/2)↑b+(t/2)↑c---(1)
同じように点HはEG上の点なので
↑OH=(1-s)↑OE+s↑OG
={(1-s)/2}(↑a+↑b)+(s/2)↑c
={(1-s)/2}↑a+{(1-s)/2}↑b+(s/2)↑c---(2)

(1)=(2)より
s=t=1/2
よって
↑OH=(1/4)↑a+(1/4)↑b+(1/4)↑c

点Iは平面ABC上にあるので
↑OI=l↑a+m↑b+n↑cかつl+m+n=1
また
↑OI=k↑OH
=k(↑a/4+↑b/4+↑c/4)
=(k/4)↑a+(k/4)↑b+(k/4)↑cなので
(k/4)+(k/4)+(k/4)=1より
(3/4)k=1
k=4/3

↑OI=(1/3)↑a+(1/3)↑b+(1/3)↑c

お礼

ありがとごさいました。

回答No.1

Tacosan

OI は平均, OH はその 3/4 かな.