不等式

質問

不等式(x＾2)≦|x-2|＋3を満たす正の整数xの個数を調べています。
y=(x＾2)=3
x=-2のときy=1
ｘ=-1のときy=3
x=0のときy=-3
x=1のときy=-2
x=2のときy=1

y=|x-2|
(x-2)≧0よりx≧2
(x-2)<0よりx<2
x=-2のときy=4
x=-1のときy=3
x=0のときy=2
x=1のときy=1
x=2のときy=0

二つのグラフを書きましたが分かりません

回答No.4

Quattro99 · ベストアンサー

-2,-1,0は正の整数ではありません。従って、正の整数というのが条件であれば除外しなければなりません。
問題は「正の整数」ではなく「整数」なのでしょうか？ そうであれば、問題集の解答であっています。
その場合、交点を両方とも見つける必要があります。#1の補足欄に書かれたように交点のx座標は(-1±√21)/2です。つまり、問題の不等式が成り立つのは(-1-√21)/2≦x≦(-1+√21)/2の範囲ということです。
√21は√16=4より大きく、√25=5より小さいので、(-1-5)/2<(-1-√21)/2<(-1-4)/2 つまり-3<(-1-√21)/2<-2.5ですから、(-1-√21)/2≦x≦(-1+√21)/2の範囲で整数なのは-2、-1、0、1の4個です（大きい方が1までなのは#3で示したとおり）。

お礼

ありがとうございます

回答No.3

Quattro99

y=(x＾2)-3がどういうグラフだかわかりますか？
y軸との交点が(0,-3)、x軸との交点が(√3,0)の下に凸の2次関数のグラフです（x軸との交点は0<xの部分についてだけ考えています）。

y=|x-2|のグラフは、y=x-2のグラフ（直線）をx軸で折り返したグラフです。(2,0)で折り返すことになります。

x軸との交点を考えると√3<2ですから、2つのグラフの位置関係がおおざっぱにつかめます（2つのグラフの0<xでの交点は√3<x<2の範囲にあります）。
0<xの範囲でy=(x＾2)-3のグラフの方が下にあるのは交点よりも左ですから、当然x<2の範囲にあり、x=2のときはy=(x＾2)-3のグラフの方が上にあります。また、0<x<√3の範囲ではy=(x＾2)-3のグラフの方が下にあるのも明らかです。
従って、問題の不等式が成立するxで正の整数なのはx=1のみなので答えは1個です。

ただし、解答には0<xでの2つのグラフの交点が一つしかないことを示す必要があります。それを示さないと例えば2<xの範囲にもy=(x＾2)-3のグラフの方が下になるところがあるかも知れませんから。

補足

参考書の答え
-2,-1,0,1
どっちが合ってるの？？

回答No.2

sanori

ｘ＝１という唯一の例外の時以外は、
｜ｘ－２｜　＝　ｘ－２
です。

最初にｘ＝１の場合だけを片付けちゃいましょうか。

左辺　１^2 ＝ １
右辺　｜１－２｜ ＋ ３ ＝ ４
１≦４
満たしますね。

では、いよいよ　ｘ≧２　の場合について調べます。
ｘ^2 ≦ （ｘ－２） ＋ ３
ｘ^2 － ｘ － １ ≦ ０
という二次不等式になりました。

（ｘ^2 － ｘ ＋ １／４） － ５／４ ≦ ０
（ｘ－１／２）^2　≦ ５／４
｜ｘ－１／２｜　≦　√５／２

ｘ≧２なので、
ｘ－１／２　≦　√５／２
ｘ　≦　（１＋√５）／２　＝　１．６１８・・・

よってｘ≧２の解なし。
ｘ＝１　の１個のみ。

お礼

分かりました
交点の間の正の整数ですか？

補足

グラフは
y=(x＾2)-3　下
y=｜x-2|　　上
二つの交点　{(－１±√21)/2}

正の整数の見つけ方が？？

回答No.1

Quattro99

> y=(x^2)=3
y=(x^2)-3ですよね？
このグラフの方がy=|x-2|のグラフよりも上にならないところでxが正の整数であるところを探せばよいということになると思います。

グラフってどうやって書いてますか？
上はy=(x^2)-3ですからそのままのグラフ。
下は、(x-2)≧0のときy=x-2、(x-2)<0のときy=-x+2ですからx=2の前後で変わります。

補足

グラフは
y=(x＾2)-3　下
y=｜x-2|　　上
二つの交点　{(－１±√21)/2}

正の整数の見つけ方が？？