試験前なんです！助けてください。

質問

ベクトルの内積です。

─→　　　　　 　─→
ＯＡ＝（３，２）、ＯＢ＝（２，１）のとき、△ＯＡＢの面積を求めよ。

回答を見ると、sinθの値がわかれば面積が求められる、と書いてあるのですが、どうやってsinθの値を出すのか、どうしてそれで面積が出るのかまったくわかりません。

ダメダメな私でもわかるように解説お願いします。

回答No.2

Mell-Lily · ベストアンサー

内積の定義は、
　→OA・→OB = |→OA||→OB|cos∠AOB … (1)
です。成分表示では、
　→OA・→OB = (3,2)・(2,1) = 3×2+2×1 = 8 … (2)
となります。また、
　|→OA| = √(3^2+2^2) = √13 … (3)
　|→OB| = √(2^2+1^2) = √5 … (4)
ですから、(1)に(2),(3),(4)を代入して、
　8 = √13×√5×cos∠AOB
　∴cos∠AOB = 8/√65
を得ます。これから、
　sin∠AOB = √(1-cos^2∠AOB) = 1/√65
ですから、
　△OAB = 1/2×OA×OB×sin∠AOB = 1/2 … (答え)
となります。

＊△OABにおいて、OA×sin∠AOBは、OBを底辺としたときの、高さになっています。

お礼

皆さんありがとうございます。おかげでわかりました。
参考書も見たんですけどどうしてもわからなかったんです。
では、試験勉強がんばりますっ！

回答No.4

mitsukan

面積だけを求めるのであればsinθ、もcosθもいらないのですが、
ほかの方がベクトルに即して回答されているようなので私は道にそれた回答を。
しかしこれは出題者の意図にそいませんけど。

△OAB＝1/2｜ad-cb｜ ｛ＯＡ＝（a，b）、ＯＢ＝（c，d）のとき｝
　　　 ＝1/2｜3-4｜
　　　　＝1/2

原点とその他の二点であればこの式は簡単に適用できます。
また、原点にない場合でも平行移動させてやれば簡単に求められます。
平行移動しても面積は変化しませんから。

お礼

皆さんありがとうございます。おかげでわかりました。
参考書も見たんですけどどうしてもわからなかったんです。
では、試験勉強がんばりますっ！

回答No.3

noname#2339

内積の定理より
→　→　　→　　→
ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cosθ
これからcosθを求め公式
sinθ（二乗）＋cosθ（二乗）＝１
に代入すればsinθがもとまると思います。チャント表示されてるかな？

sinθから面積を求めるやりかたは公式
１／２ａｂsinθ（ａ、ｂは三角形の二辺のそれぞれの長さ、θはその二辺にはさまれた間の角）これが面積になります

なんでこの公式が成立するかというと、ａを底辺とするとｂsinθがこの底辺に対応する高さになるからです。これは自分で図を書いてやってみましょう。
多分これで解けると思います。定理、公式は覚えましょう。

タダこのサイトにきくよりは参考書を買ってやった方がわかりやすいし、早いと思います。
学校からもらった問題集に解説がなかったら（つーか意地悪してくれないんだと思うが）、教科書ガイドでも他の参考書でも見てやるべきです。
このサイトだと、回答くるまで時間がかかる、文字で表記するのには限界があるっていうこともある

お礼

皆さんありがとうございます。おかげでわかりました。
参考書も見たんですけどどうしてもわからなかったんです。
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回答No.1

uyama33

手順だけ

1.内積を使って、コサインを求める
2.サインの2乗をコサインの2乗に加えて1になるので、サインがわかる。
3.三角形の高さを求めるのにサインを使う
4.底辺かける高さの半分で面積が出る

教科書をみながら頑張ってください

補足

ありがとうございます。
でも、１と３のところがわからないです（涙）　
もうちょっとくわしく教えてください。おねがいしますm(_ _；)m

・・・教科書に載ってなかったんです。これは問題集の問題で。