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三角形の面積の求め方

2012/04/08 22:35

2点の座標をＡ(5，-1)　Ｂ(-1，3)とするとき、原点Ｏと点Ａ、点Ｂでつくる△ＯＡＢの面積を求めよ。という問題です。座標を書き三角形を作りました。∠AOB＝θとし、Ｓ＝1/2　absinθ　を使うと思います。 a＝OA、b＝OBとすると、 OA＝√26　　OB＝√10　　ということが分かりましたが、∠AOBの値が見つかりません。ここからどのように考えたら良いのでしょうか？　解説をお願いします。

type2000
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数学・算数
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ferien
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2012/04/09 09:26 回答No.9

Ano.6です。補足についてＳ＝1/2　absinθをベクトルで考える式だとＳ＝1/2　absinθ ＝1/2　√｜→OA｜^2｜→OB｜-(→OA・→OB)^2 で考えると＞→OA・→OBの値はどのようになりますか？以下は、→はないですが、ベクトルということでお願いします。｜ＯＡ｜＝√２６，｜ＯＢ｜＝√１０（ＯＡ・ＯＢ）＝｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜cosθ＝√２６・√１０・（－４／√６５）Ｓ＝(1/2)√｜→OA｜^2｜→OB｜^2-(→OA・→OB)^2　　＝(1/2)√２６・１０・－２６・１０・（１６／６５）　＝(1/2)√２６・１０・（４９／６５）　＝((/2)√４・４９　＝(1/2)・２・７　＝７でどうでしょうか？

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noname#157574

2012/04/09 14:31 回答No.10

OA,OB,ABの長さは容易に求められますので，あとはヘロンの公式 S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}　s=(a+b+c)/2 を用いれば面積が求められます。

中村拓男（@tknakamuri）
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2012/04/09 07:11 回答No.8

３角形の面積を求めるだけならば三角形の２辺のベクトルを (a, b), (c, d) とすると、面積は (1/2)|(ad - bc)| となります。なので、 (a, b) = (5, -1) (c, d) = (-1, 3) ならば (1/2)|(5・3 - (-1)(-1))| = 7 ちなみに、(ad - bc) は外積と呼ばれるもので２辺が作る平行四辺形の面積です。

nag0720
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2012/04/09 01:06 回答No.7

＞Ｓ＝1/2　absinθをベクトルで考える式だと＞Ｓ＝1/2　absinθ ＞＝1/2　√｜→OA｜^2｜→OB｜-(→OA・→OB)^2 ＞で考えると＞→OA・→OBの値はどのようになりますか？ベクトルで考えるなら、 cosθ＝(→OA・→OB)/(|→OA||→OB|) なので、 sinθ＝√{1-(→OA・→OB)^2/(|→OA|^2|→OB|^2)} |→OA|=√26 |→OB|=√10 (→OA・→OB)=5・(-1)+(-1)・3=-8 Ｓ＝1/2 absinθ ＝1/2 |→OA||→OB| √{1-(→OA・→OB)^2/(|→OA|^2|→OB|^2)} ＝1/2 √{|→OA|^2|→OB|^2-(→OA・→OB)^2} ＝1/2 √(26・10-64) ＝1/2 √196 ＝7

ferien
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2012/04/08 23:16 回答No.6

2点の座標をＡ(5，-1)　Ｂ(-1，3)とするとき、原点Ｏと点Ａ、点Ｂでつくる△ＯＡＢの面積を求めよ。という問題です。座標を書き三角形を作りました。∠AOB＝θとし、＞Ｓ＝1/2　absinθ　を使うと思います。この式を使います。ＡＢ^2＝（５－（－１））^2＋（３－（－１))^2＝５２より、　ＡＢ＝２√１３余弦定理より、 cosθ＝（ＯＡ^2＋ＯＢ^2－ＡＢ^2）／２×ＯＡ×ＯＢ　　＝（２６＋１０－５２）／２×√26×√10　　　＝－４／√６５０＜θ＜πより、sinθ＞０ sin^2θ＝１－（－４／√６５）^2＝４９／６５より、sinθ＝７／√６５あとは、Ｓ＝1/2　absinθ　に代入して下さい。

質問者