誰か教えてください

質問

次の問題のいみがわかりません。
接地された二枚の大きな平行導体板の間に両板から距離ａ、ｂの地点に点電荷ｑを置くとき、点電荷に働く力を求めよ。
これは、接地しているので導体板の中の電圧は０のままですよね。また、点電荷は１つじゃなくて２つあるんですよね。Ｆ＝ｋ・q^2/r^2の公式でいいんですか？あまりに簡単すぎるので、違うと思いますが。問題の趣旨をおしえてください。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　　　　　　　　　●　│　○　　　│　　　■
　　　　　　　　　　　　│　ｑ　　　│
　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　　　　　　　　　　　│　　　　　│

ちょっと考えると，鏡像電荷を上図のように置けばよいような気がします．
○は電荷 q，●と■は電荷 -q です．
●と○で左側の導体板上で電位が一定(ゼロ)は満たされるし，
■と○で右側の導体板上で電位が一定(ゼロ)が満たされます．
あれ，ちょっと待てよ．
左側の導体板には■も効くし，右側の導体板には●も効きますね．

　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　△　　　　　　　●　│　○　　　│　　　■ 　　　▽
　　　　　　　　　　　　│　ｑ　　　│
　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　　　　　　　　　　　│　　　　　│

そうすると，
左側の導体板で■と合わせて電位ゼロにするためには△(電荷 q)を置き，
左側の導体板で●と合わせて電位ゼロにするためには▽(電荷 q)を置く，
ということになります．
△と■は左の導体板に関して対称の位置，
▽と●は右の導体板に関して対称の位置，
です．

これで終わり？
いやいや，今度は△▽の影響を考えないといけません．

以下，上の手続きの繰り返しで，無限個の鏡像電荷が必要になります．
簡潔に表現すれば nubou さんの書かれていることになります．

あとはお任せします．

補足

大変わかりやすい回答ありがとうございました。鏡像法で解いていきましたが、結局答がでません。２ｋ番目の点電荷ｑに働く力はF＝q^2/4πε_０｛1/{ka+(k+1)b}^2－1/{(k+1)a+kb}^2｝となりまして、これをｋ＝０からｋ＝ｎまでくわえて最後にｎを∞に飛ばそうと思ったんですが、計算できませんでした。途中経過が間違っているのでしょうか？

回答No.5

siegmund

siegmund です．

あとはお任せします，なんて書きましたが，意外に面倒ですね．
物理的な様子の話は終わっていますが，
具体的に元の電荷(○印)に働く力を求めようとすると，
無限個の鏡像電荷からの分を加えないといけません．
補足の 2k 番目の意味がちょっと不明確ですが，
いずれにしろ鏡像電荷(分類が必要でしょうが)までの位置は
一定距離ずつ増えて行きますから，適当に変形して
(1)　　Σ{n=0 to ∞} [1/(n+c)^2]
のタイプの和が必要です．
ikecchi さんはここで行き詰まったようですね．

このタイプの和はトリ・ガンマ (trigamma) 関数 ψ^{(1)}(x) を用いて
(ψの肩に (1) がついている)
(2)　　Σ{n=0 to ∞} [1/(n+c)^2] = ψ^{(1)}(c)
と書けます．

ガンマ関数Γ(x)をご存知なら，
(3)　　ψ^{(1)}(x) = d^2 Γ(x)/dx^2
がトリ・ガンマ関数の定義です．

でも，この和がトリ・ガンマ関数で書けるという話はかなり高級な話で，
理工系の学部学生レベルでは手が出ないでしょう．
大学の物理の先生を適当につかまえていきなり聞いても，
たいていは(少なくともすぐには)答えられないと思います．
かなり突っ込んだ超伝導の理論では割合有名な関数で，
そっちの勉強をした人でしたら答が返ってくる可能性が高いでしょう．
私が回答書けるのも，昔超伝導の理論の勉強をしたためです．

というわけで，初等的な形では答は求まりそうにありません．
a=b なら対称性から簡単ですけれどね．

何か，間違っていなきゃいいけれど．

お礼

先生の回答を見ましたら、和を普通にとって最後は・・・でごまかしてました。やはりトリガンマ関数などは用いてませんでした。どうもありがとうございました。

補足

回答ありがとうございました。自分が２ｋとしたのはですね、もとの点電荷ｑに対して電気映像法を使って出した対称の点電荷ーｑ二つをA_０,B_０とおいてその点電荷ーｑがもとの点電荷ｑに与える力をF_０としてとくと、f_１、f_３、f_（２ｋ＋１）、・・は力が相殺されて０となるので（∵　距離が元の点電荷から同じになる）、ｆ_２ｋ番目をｋが０からｎまで足して無限大に飛ばせばよいと考えたのです。でも、そのトリガンマ関数というのは習っていませんし、いったいどういう観点から教授は問題を出したのでしょうか？また解けないといけないんですかね？いまいち、定義から導こうとしても難しいものがあります。

回答No.3

nubou

ｑが鏡ｘで像ｑｘ［１］を作りｑが鏡ｙで像ｑｙ［１］を作り
ｑｙ［１］が鏡ｘで像ｑｘ［２］を作りｑｘ［１］が鏡ｙで像ｑｙ［２］を作り
ｑｙ［２］が鏡ｘで像ｑｘ［３］を作りｑｘ［２］が鏡ｙで像ｑｙ［３］を作り
ｑｙ［３］が鏡ｘで像ｑｘ［４］を作りｑｘ［３］が鏡ｙで像ｑｙ［４］を作り
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

あとはｆ＝ｑ・ｑ’／（４・π・ε０・ｒ＾２）を繰り返し使うだけです

回答No.2

siegmund

> 問題の趣旨をおしえてください。
ということですので，そういう趣旨で回答します．

> 接地された二枚の大きな平行導体板の間に
> 両板から距離ａ、ｂの地点に点電荷ｑを置くとき
というのだから

　│　　　　　　　　　│
　│　　　　　　　　　│
　│←ａ→○←─ｂ─→│
　│　　　ｑ　　　　　│
　│　　　　　　　　　│
　│　　　　　　　　　│

電荷は２個じゃなくて上のようなことでしょう．
導体板間の距離が a+b ですね．

> 接地しているので導体板の中の電圧は０のままですよね。
電圧じゃなくて，電位というべきですね．

導体板がありますから，事情はそんなに簡単ではありません．
点電荷が１個だけのとは全く様子が違います．
電場は，導体のところで電位がゼロになるように決まっています．
ポアッソン方程式の立場から言えば，そういう風な境界条件をつけた，
ということになります．

問題の趣旨は，おそらく鏡像法(電気映像法，映像法)で解けということなのでしょう．
適当な静電気学のテキストで鏡像法のあたりを探してください．

補足

ありがとうございます。では、導体板をはさんで正反対側にーｑの電荷を置いて考えればいいのですかね？だから、導体なしのときの半分に答はなるんですかね？でもそれでは、ａ、ｂの意味が無いですね。

回答No.1

acacia7

あんまり考えてないのでちょっとだけ・・

＿＿┃＿＿＿＿┃
┏━┫＿・ｑ＿┣━┓
┃＿┃＿＿＿＿┃＿┃
┻＿＿＿＿＿＿＿＿┻
＿＿↑ａ↑ｂ＿↑＿

ってな感じじゃないでしょうか？

平板間はa+bってことで・・
電荷は一個です。