導体表面の電界

質問

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

問題について書くと、

(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Ｑの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度をσとし、σのつくる電界をガウスの法則で求めるが、解答をみると
E=σ/2ε0

(某問題3)無限に広い導体平面の上に一様な面密度σの電荷が分布している。。。。。。以下省略。

で、解答中、σによる電界は平面に垂直でその大きさは、
E=σ/ε0

(某問題4)液体の誘電体があり、その液中に導体の板が二枚がある距離をもって向き合っている。そして、導体間に電位差Vがある。２導体の引き合う力を求めよ。

で、＋電極の真電荷密度をσ、それに接する液体面の分極電荷密度
をσpとすると、－電極にはそれぞれ、－σ、－σpの電荷が有る。＋電極の力を求めるには－電極の－σと－σpがσに及ぼす力を考えればよい。－σと－σpだけがつくる電界は
E=(σ＋σp)/2ε0

自分なりに推測したところ、

某問題1と3は、表面に垂直な微小円筒を仮想閉曲面とし、ガウスの法則を適用する。
導体内部では電界はゼロで、導体の外部に出ている閉曲面の部分を考えればよく、また、側面はE・dS=0。
従って、積分が残るのは上面だけであり、E=σ/ε0

某問題2と4では、微小円筒の仮想閉曲面が平面を貫いており、上の1と3における積分が上面と下面になり、
E=σ/2ε0

と考えました。

私の質問は、
・某問題1～４のEの求め方は私の推測で正しいでしょうか？
次に、私の推測が正しいかどうかわかりませんが、
・なぜ、2と4の問題では、下面の積分も残るのでしょうか？
　問題の条件文はそのまま上に書きましたが、私が何度読んでも、４つとも同じ条件に見えてしまいます。
この見極め方を教えて頂きたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

matelin · ベストアンサー

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が１枚か、２枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
（１）１枚の無限に広がった平板導体の場合
　　　　　Ｅ＝σ／２ε
　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
｜＿+＿＿+＿＿+＿＿+＿＿|　　電荷の面密度は+σとする。

　　　　　Ｅ＝σ／２ε

（２）正負電荷を帯びたの２枚の無限に広い平行平板導体の場合
　　　　　Ｅ＝０
　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
｜＿+＿＿+＿＿+＿＿+＿＿|　　電荷の面密度は+σとする。

　　　　　Ｅ＝σ／ε
　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
｜＿-＿＿-＿＿-＿＿-＿＿|　　電荷の面密度は-σとする。

　　　　　Ｅ＝０

（１）の電場の強さはガウスの法則で求まります。
それはあなたが推測された通りです。

（２）では、＋の平板が作る電場と、－の平板が作る電場とを
重ね合わせることによって、そこに生じている電場を求めます。
２つの平板の間では、２つの電場は向きが同じなので、
強めあう重なりになります。
２つの平板の外側では、２つの電場は向きが逆なので、
弱めあう重なりになります。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほどです。そういうことだったのですね。わかりやすく教えて頂きありがとうございました。

そして、先ほど、「そういえば二導体平板の内側と外側での電界の関係を授業で聞いていたなぁ」と思い出しました。授業を疎かに聞いていたようです。反省します。

どうもありがとうございました。