楕円弧の方程式とそのx,yの最大値・最小値

質問

以下の設問について求め方と解を教えてください。
１．長半径a,短半径bの楕円弧を中心点を軸に角度θで回転した時の方程式。
２．その楕円弧のx,yの最大値・最小値。

回答No.2

ereserve67

ANo.1です．判別式を使った解法を紹介しましょう．

１．求める方程式の表す楕円上の点を(x,y)とします．これを原点を中心として-θ回転した点を(u,v)とすると

u=xcosθ+ysinθ
v=-xsinθ+ycosθ

u^2/a^2+v^2/b^2=1

が成り立ちます．u,vを消去すると

(xcosθ+ysinθ)^2/a^2+(-xsinθ+ycosθ)^2/b^2=1（答）

２．１．の式を展開整理すると

b^2(xcosθ+ysinθ)^2+a^2(-xsinθ+ycosθ)^2=a^2b^2

(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)x^2+2(b^2-a^2)sinθcosθxy+(b^2sin^2θ+a^2cos^2θ)y^2-a^2b^2=0

これをxの2次方程式とみるとxは実数であるから
D_x/4
={(b^2-a^2)sinθcosθ}^2y^2
-(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ){(b^2sin^2θ+a^2cos^2θ)y^2-a^2b^2}
=[(b^2-a^2)^2sin^2θcos^2θ-{(a^4+b^4)cos^2θsin^2θ+a^2b^2(cos^4θ+sin^4θ)}]y^2+a^2b^2(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)
=-a^2b^2{2sin^2θcos^2θ+cos^4θ+sin^4θ}y^2+a^2b^2(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)
=-a^2b^2(cos^2θ+sin^2θ)^2y^2+a^2b^2(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)
=a^2b^2(-y^2+b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)≧0

すなわち

-√(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)≦y≦√(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)

またyの2次方程式とみるとyは実数であるから同様に(x⇔y，sin⇔cosの入れ替え)

D_y/4=a^2b^2(-x^2+b^2sin^2θ+a^2cos^2θ)≧0

すなわち

-√(b^2sin^2θ+a^2cos^2θ)≦x≦√(b^2sin^2θ+a^2cos^2θ)

こうしてx座標の最大値・最小値はそれぞれ

√(b^2sin^2θ+a^2cos^2θ)，-√(b^2sin^2θ+a^2cos^2θ)（答）

またy座標の最大値・最小値はそれぞれ

√(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)，-√(b^2cos^2θ+a^2sin^2θ)（答）

補足

再三の丁重な解説を頂き、誠にありがとうございます。

長径a、短径b、始角θs、終角θe、原点を中心としてθr回転した時の
楕円弧の式とx,yの最大値及び最小値をどのように求めたらよいのでしょうか。
恐れ入りますが是非ともご教授願います。

回答No.1

ereserve67

同じ問題を

http://okwave.jp/qa/q7818315.html

で解いています．

補足

楕円の式を使って、楕円弧の最大値・最小値の求め方を
ご教授願います。