0を自然数に含めると考える理由について。

質問

数学のレポートで「自然数を0に含めるか否か」についての
問題を出題されました。

僕は、効率良く計算を行う為に後から発案されたもの
なので、元から存在していた訳ではない。したがって
0は自然数に含めないと考えております。

しかし、参考になりそうなHPを探していると0を
自然数に含めるという考え方もあるようです。
何故、含めると考えるのか理由が気になったのですが
詳しく書かれている文献を見つけることが出来ませんでした。
(検索の仕方が悪いのかな？)

「0を自然数に含める」と考える理由を
ご存知の方、お手数ですが高校生でも理解出来る程度で教えて
下さい。宜しくお願いします。

回答No.5

funoe · ベストアンサー

（０から始まる派）
自然数に０を含めるほうが自然という考えかたの理由は、
・空集合を対応させるには０が自然（集合論から構成的に自然数を定義する手法での話）
・加法の単位元（ｘ＋ｅ＝ｘとなるｅ）があったほうが、代数構造として豊か
といった、先の回答者さん達のお答えの通りと思います。

これらの考えは、数の構造や定義の見直し・厳密化が行われた１９世紀末頃に
整理された考えです。

（ニュートラル派）
また、No３さんご回答のとおり、ペアノの公理を出発点とするなら、
どっちでも良い話（∃１∈Ｎ・・・としてもよいし、∃０∈Ｎ・・・としても良い）
ですで、「０が入ってなきゃいけん」とかいう議論にはなりません。

（１から始まる派）
一方、
・自然数である「２，３，４を分解したときの、最小の部品（単位）」や、
・自然数を作るための最小の要素
というのなら、「１」とする方が自然ともいえます。
０は、どう料理しても、１や２や３を作るモトにはなりそうにありません。
といった、情緒的な理由（？）で、「自然数に０は含まない。あくまでも１から」
という主張にも一理あります。

小生、一応大学で数学を学びました(数学科)が、
「０を入れる流儀もあるが、自然数は１から始まる」という感じで捉えています。

回答No.4

mmk2000

数字の集合を考えるときに、その集合は「どのような構造をしているか」ということが大事になります。
例えば有理数という集合は足し算、引き算、掛け算、割り算が許されますが整数は割り算は許されません。
構造はゆるすぎると意味の無い集合になってしまいますが、制約が多すぎると使い勝手の悪い集合になってしまいます。
その中で自然数を考えると、０を入れることによって構造が大分ゆるくなり、０を入れないとかなり使い勝手の悪くなった部分が緩和されます。
加法に関して０をいれないと半群、０をいれるとモノイドになります。
半群＜モノイド

自然数という集合が活躍する場が増えるためには０を入れておいた方が使い勝手がいいってことでしょう。
比較的、情報系の人は０を入れることが多いようです。

雰囲気だけでも伝わりましたでしょうか？

回答No.3

komimasaH

どっちの考えもあるようです。したがって断定してはいけません。
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

ペアノの公理はこちら
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86

結局、自然数という集合をどう定義するかでしょう。

お礼

ご回答・参考になりそうなサイトのリンク
有難う御座います。

どちらも正解という事ですね。
でも高校の中間試験等で今回のような問題が
出たら0を含めるという事にしておいた方が
無難でしょうか。

回答No.2

rinkun

高校までだと自然数に0は含めないですね。歴史的経緯とかを考えてのことでしょうか。
大学だと0を含めることが多いです。含めた方が扱いやすいので。
結局は何が自然かということでしょうね。

数学基礎論とか公理論的集合論の立場では自然数を構成的に定義していきますが、加法(足し算)一つを取っても0を除外すると面倒です。
大学で数学をやると0を含めるのが自然に思えます。

お礼

お礼を補足に書いてしまいました。
申し訳御座いません。

補足

数学の先生に伺ってみたところ、やはりrinkunさんの
仰るとおり、高校では自然数に0は含めないと言われました。

数学基礎論・・・
公理論的集合論・・・
わからない用語が多くて頭がショートしそうです＾＾；
時間をかけてじっくり調べてみることにします。

ご回答有難う御座いました。

回答No.1

Tacosan

数学基礎論なんていう分野があります. 集合を基礎にして数学を一から作ろうって分野.
この分野では「特定の形をした集合」を「自然数」に対応させます. このとき, 空集合に自然数0 を対応させます.

お礼

ご回答有難う御座います。
お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。

少し気になったのですが、「特定の形」というのは
例えばどういうものなのでしょうか？