１はなぜ素数ではないと決めたのですか？

質問

こんにちは。

素数（そすう）とは、1 とその数自身以外に約数を持たない（つまり1とその数以外のどんな自然数によっても割り切れない）、1 より大きな自然数のことである。

そうですが、なぜ「1 とその数自身以外に約数を持たない」
ものと決めたときに、なぜ１を除外して「１より大きな自然数」と決めたのですか？

１を除外した理由について教えてください。
素数を考える（場合によっては研究）するうえで、１を定義から除外しないとまずくなる決定的な理由あるいは理由を教えてください。

１を素数とすると、存在する数学の定理が成立しなくなるなど、具体的にどんなときなのか教えてください。

お願いいたします。

回答No.5

mathematik · ベストアンサー

１が素数ではないのは、素因数分解が関係していたと記憶しています。
例えば、１００を素因数分解すると

100=2^2×5^2　……　^←は累乗を表しています。

となります。ここで大事なのが素因数分解のやり方…結果は、１通りしか存在しないという事です。
　これを「数論の基本定理」と言います。

　証明

　ある整数M（素数以外の数は、すべて素数の積で表す事ができる）が今、２通りの方法で素因数分解できたとします、すなわち…

M＝a1^r1×a2^r2×a3^r3×……ai^ri　式１

M＝b1^s1×b2^s2×b3^s3×……bj^sj　式２

a1等という記数法は、私が勝手に作りました。字数が多くなるのでaの１番目と、２番目を区別するためにつけました。ですからa1≠a2≠a3≠……≠aiですし、同様にb1≠b2≠b3≠……≠bｊです。そして、a1やb2は全て素数です（r1、s1等は違います…何乗かを表しているだけなので）。

すると、式１よりMは必ずa1で割り切る事ができます。
そして、式２よりb1^s1×b2^s2×b3^s3×……bj^sjはMに等しく、Mはa1で割り切れるはずですから、b1～bjまでのどれかが、a1と等しくなくてはなりません（そうでないと、割り切れないので）。
　この論法で行くと、結果的にどのaを考えても、全てどこかのbと等しくなるので式１と式２は完全に一致してしまうのです。

　しかし、ここでもし１を素数とすると例えば１００素因数分解の方法が

　100＝2^2×5^2＝2^2×5^2×１＝2^2×5^2×1×1…

となって、基本定理が成り立たなくなります、ですから１は素数からはずさなければならない…

とまあ、こんな事だったと。

お礼

なるほど。
納得できました。
教えていただきましてどうもありがとうございました。

回答No.4

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.2 の方の回答と同じ内容なのですが、自然数には「素因数分解の一意性」という性質があり、これが、かなり重要な性質になります。
こんな訳で、１が素数だと、一意的に素因数分解できなくなり、これは、かなり困りごとになります。

お礼

なるほど。
納得できました。
教えていただきましてどうもありがとうございました。

回答No.3

age_momo

>「1 とその数自身以外に約数を持たない自然数」

この定義を見ると1も入ってもよさそうですが、
結局、約数に関わる集合の話なんでその視点で分けてみると

約数の数が1個 {1}
約数の数が2個 {2,3,5,7・・・要するに素数}
約数の数が3個以上 {4,6,8,9・・・要するに1,素数以外の自然数}

1は素数とは異質だと思いますよ。有る意味素数以上の存在じゃないですか。
定義だけの問題なんで1を素数に含めた場合、他の定義を
書き換えなけりゃならないだけで数学の本質に関わるとは思いませんけど。
(要は1以外の素数において・・・と定義で断わればいいですよね）

お礼

なるほど。
納得できました。
教えていただきましてどうもありがとうございました。

回答No.2

lllllorzll

１というのは、２でも３でも１１でも、とにかくどの数でも割れる数だと考えています。
なので例えば「素因数分解」すると、
普通は６は２×３、１２は４×３ですが４は２で割れるので最終的に２×２×３となりますが、
これで１を素数だとしたら
６＝２×３＝１×２×１×３　２も３も１で割れるので１×２や１×３が延々と続くわけです。
１２の場合も同じです。
なので１を素数だと認めてしまうと、それ以外の素数の意味がなくなるし、
数学的に都合が悪いので 認めていないんじゃないかと私は思います。

お礼

でも、上の方たちの意見と同じですね。
間違いなさそうです。
個人的には、決定的な理由っぽく見えなかったのですが、私の方がおかしいのでしょう。

アドバイスをいただきましてどうもありがとうございました。
助かりました。

補足

ありがとうございます。

＞１というのは、２でも３でも１１でも、とにかくどの数でも割れる数だと考えています。

割れないのでは？
１はすべての数の約数ですけれども。。。

＞１×２や１×３が延々と続くわけです
なるほど、そういうわけですか！気づきませんでした。

でもそれだったら、素因数分解するときに１だけは書くのは１個までとする。とルールを決めればよいわけで、１を素数から除外する「決定的な理由」には成り得ないのではないでしょうか。
素因数分解とは素数の因数に分解することですから、２や３はその数だけ個数があるべきですが、１は一個までとしてもそういう決まりにしておけばよいような気がします・・・

回答No.1

tatsumi01

１を素数とすると、１以外に素数はなくなります。
素数に関する全ての理論はなくなります。面白くありません。それだけでしょう。

お礼

なるほど。
納得できました。
教えていただきましてどうもありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

＞１を素数とすると、１以外に素数はなくなります。

なぜでしょうか？
別に１を素数としても、素数は１以外にいくらでもあるということになりませんか？？