方程式(代数的数)の高さ
大学の課程の数学の話題になるとおもうのですが、高さについてわからないので質問します。
a0x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+a3x^(n-3)+an-1x+an=0
{a0≠0,ai∈Z,ai(i=1,2,3・・・n)} ・・・(1)の根を代数的数とよぶそうです。またその高さをN=ｎ-1+|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+・・・+|an|・・・(2)とするそうです。
代数的数ωが与えられればそれが満足する方程式(1)は(条件a0>0,a0,a1,a2,a3,・・・anの最大公約数(a0,a1,a2,a3,・・・an)=1によって)一意的に定まり。したがってその高さN=N(ω)も定まる。明らかにNは自然数であるが、与えられたNに対して、(2)が成り立つようなa0,a1,a2,a3,・・・anは有限個しかない。したがってN=N(ω)となるようなωも有限個しかない。
(例えばN=1とすればn=1,a0=1従ってω=0となり、N(ω)＝1となるようなωは1つである。N=2とすればn=1,a0=1,a1=±1従って、N(ω)＝2となるようなωは1と-1の２個である。同様にN(ω)＝3となるようなωは2,-2,1/2,-1/2の４個である。)
わからないのは、例えばのところです。a0,a1,a2,a3,・・・anのまま方程式に使わない。 例えば
1*ｘ+a1=0などとはしない。とするにしても、N=2のときn=1,a0=2 2*ｘ＝0や、
n=2 ,a0=1 1*x^2=0がでてこないのはなぜでしょう？どなたか間違いの指摘をお願いします。
