証明してもらいたいのですが・・・

質問

ある多角形（五角形など）はある直線で分けられる。このとき周囲の長さも面積も２等分された。これを証明してください。
ちなみに高校生の授業で問われました。
自分なりに考えたのは連続性？よく分かりませんでしたが・・・
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>ある多角形（五角形など）はある直線で分けられる。このとき周囲の長さも面積も２等分された。....

とりあえず、凸多角形の場合だけ。
凸多角形の一頂点V を原点として、辺をたどった点P までの距離をX(P) であらわす。
まず、凸多角形の一点A を出発点として、辺をたどって中間点B を経由し、ふたたび点A に戻ってみる。
初めの出発点は頂点V としよう。
つまり、X(A)=0、X(B)=L/2 で、各辺を一巡して戻ったとき、X(A)=L…(凸多角形の全辺長) とする。

凸多角形は直線A-B で二分されるが、往路(A→B)側の面積をS1 とし、帰路(B→A)側の面積をS2 とすれば、
　S1+S2=T　…(凸多角形の全面積)
S1=S2 とは限らない(可能性はあるが)。

そこで、出発点を V からプラス側に連続的にずらしていき、X(A)=L/2 (初期の B 点)に達したとき、
往路側の面積S1' と帰路側の面積S2'は、初期の S1 と S2 を逆転した値になる。

ややこしいので、まとめてみよう。
出発点A の座標をx とし、往路側の面積をS1(x) とすると、x[0 : L/2]の区間内にて、S1(x) は [S1 : S2]の値をとる連続関数である。
S1=S2 ならば、出発点はどこでもよい。
違う場合は、中間値の定理により S1(x)=T/2 となる x[0 : l/2] の点C が存在するので、その点Cを出発点として、辺をたどって中間
点B を求めれば、点のペア{C, B}が題意を満足する。

お礼

ありがとうございます。
詳しく解説していただいてありがとうございます。

回答No.2

noname#47975

私が思いついた証明法も、#1さんと全くと言っていいほど同じになりましたが…。

まず、多角形の周長をLとおきます。
ここで、多角形の辺上を移動する同点P、Qを考え、
これらは常にPからQまでの辺をつたっての距離L／２を
満たしながら動くものとします。
P、Qの移動距離をｘとし、線分PQとPからQ（必ずPが先に来る）
までの辺とで囲まれた図形をZとし、その部分の面積をS(x)とおきます。
また多角形の面積はSとおく。
ここで、S(0) < S/2 または S(0) = S/2またはS(0) > S/2
のどれかを満たしています。
S(0)=S/2ならばこの時点で条件を満たす線分PQとなります。
問題は、S(0) < S/2 または、S(0) ＞ S/2のときです。
ここで、x = L/2まで移動した時、

S(0) < S/2ならば、S(L/2) > S/2
S(0) > S/2ならば、S(L/2) < S/2

になるのは気付くでしょうか？
この時点ではPは出発点のQの位置、Qは出発点のPの位置にいる事に
なります。すると、S(L/2) = S - S(0)を満たすからです。
つまり、これは、出発時の多角形の領域から図形Zを除いた部分に
相当し、その面積にあたります。

ここで、T(x) = S(x)-S/2とおくと、
S(0) < S/2ならば、T(0) < 0 かつ T(L/2) > 0となるので、
T(x)は連続であることから、
中間値の定理により、0 < x < L/2の範囲にT(x) = 0となるような
xの値が存在するわけです。
ここで、そのｘの値をcとおくと、T(c) = S(c)-S/2 = 0より、
S(c) = S/2であり、確かに条件を満たす線分PQが存在する事が言えます。

お礼

同じ解説ながらさらに詳しく解説していただいてうれしいです。
ありがとうございました！