パンケーキプロブレム

質問

連続した図形はどんな形であっても、その面積を半分にできる直線が引けるらしいのですが、どうやって証明したらいいかわかりません。中間値の定理を使うということなのですが、教えていただけませんか？
あと、図形を２つ組み合わせた場合でも両方の図形を半分にするような直線が１本ひけるというのも、まったくわかりません。
分かりにくい説明で申し訳ありませんが、ヨロシクお願いします。

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

昔からある問題ですね．

左の端っこのほうで直線を引いて図形を分割すると（左の面積）＜（右の面積）ですよね．同様に，右の端っこのほうで最初の直線に平行になるように（本当は別に平行ではなくてもいいんですが），直線を引いて図形を分割すると今度は（左の面積）＞（右の面積）となります．いま，最初の左に書いた直線から平行に「連続的」に少しずつずらしながら，右に書いた直線まで移動すると，左右の面積の差S＝（左の面積）－（右の面積）は最初のS<0から「連続的」に変化して最後のS>0となります．よって中間値の定理よりS=0，つまり（左の面積）＝（右の面積）となる状態の直線が存在する（ずらしている途中のどこかにある）ということです．
図形を２つ組み合わせても原理は同じです．

ポイントは，中間値の定理が適用できるように，直線の位置を「連続的」に移動させて，面積の差が「連続的」に変化することを感覚的に自明に持ち込んでいる点ですが，「本当に面積の差が連続的に変化するのぉ？？」とダダをこねるとこの問題はいろいろと大変なことになります^^

補足

なんとなくイメージはわきました！！
ありがとうございます☆
けど…申し訳ないですけどダダをこねさせてください(>_<)レポート課題なんですけど、先生が１番嫌いなのが「感覚的」ってやつなんです。。。
いろいろと大変なのは承知の上で、どうかもう少しつきあってくださいm(_ _)m

回答No.2

stomachman

レポートなんですか。がんばってね。
後半部分についてのヒント。
図形１個について、回答No.1の考え方で半分に分割する直線をひく方法は一通りではありません。その図形を回転させても、全く同じようにして直線が引ける。ということは、面積を半分にする直線は、図形に対して任意の角度のものが存在します。
このことから、
図形２個A,Bが並べてある場合に、Aを半分に切る適当な直線Lを選ぶと、LはBを必ずしも半分に切りません。でも、「Aを半分に切る」という条件を保ったまま直線Lの向きを連続的に変えていきますと、それがBをどう切るか。回答No.1の考え方で（ただし今度は直線の平行移動ではなく回転によって）再び中間値の定理が使えます。

なお、話が直感的かどうかは「連続した図形」なる概念を正確に定義できているかどうか、さらには面積と積分の関係をホントに厳密に言えるのかどうかで決まるように思います。本気でツッコミだしたら教科書が書けることになっちゃいますから、講義で言われたことや標準的教科書に書いてあることを利用するなど、ほどほどで宜しいのでは？

お礼

今回はどうもありがとうございました★
おかげで無事にレポート完成させることができました！