(?_?) 数学の幾何で「三角形の内角の和は１８０度」と習いましたが、これは球体の上でもそうなんでしょうか？

質問

地球の表面に凹凸がなく、なめらかな球体と想定して、その上に一つの三角形を描くとします。
　辺の長さが６０００キロ、５０００キロ、４０００キロの巨大な三角形……辺の形状は弓状になっているわけですが、その内角の和は、やはり１８０度でしょうか？
　もし１８０度でなければ、何度になるんでしょうか？

回答No.3

acacia7 · ベストアンサー

もう、回答は出てるみたいですけど、一応説明。

三角形の内角の和が１８０度というのは前出の様に
「ユークリッド空間」でのみ成り立つ話です。
「ユークリッド空間」というのはユークリッドさんの考えた公理が成り立つ空間のことで、普通の２次元平面のことです。

ユークリッドの５つの公理は以下の通りです。
1. 勝手な点と、これと異なる他の勝手な点とを結ぶ直線は、一つ、そしてただ一つ引くことができる
2. 勝手な線分は、これを両方への望むだけ延長することができる
3. 勝手な点を中心として、勝手な半径で円をかくことができる
4. 直角はすべて相等しい
5. 一直線が二直線に交わるとき、もしその同じ側にある内角を加えたものが二直角より小さかったならば、二直線はこの方向へ延長してゆけば、必ず交わる

見ての通り、5つ目の公理は妙に長いのがわかると思います。
で、「５つ目の公理っていらないんじゃん？」とか考えた人が沢山居たわけです。
そのうちの一人で有名なリーマンさんが考えた5つ目の公理が以下のものです。
「一点をとおって、この点を通らない直線と交わらない直線をひくことはできない」

これはよくよく考えると、球面のような空間のことでした。
で、地表面はリーマン空間に相当しますので、ユークリッドの公理から導かれる「三角形の内角の和は１８０度」というのは成り立ちません。
また、Ｎｏ．１でも書かれているように、その和は一定ではありません。

で、非ユークリッド空間は「一点を通って、この点を通らない直線と交わらない直線を無数にひくことができる」といった公理も取ることができて、
こちらの代表は双曲面だったりします。
こっちの場合に内角の和が１８０度より小さいとかの現象が出ます。
蛇足ですが、リーマン空間の三角形は頂点のを決めても二つできますのでご注意。三本の直線で区切られた空間のどちらが三角形の内角だか決まらないためです。

お礼

ご回答いただき、たいへんありがとうございました。

回答No.4

siegmund

内角の和は一定になりません．
球面の半径 r を一定にしておくとして，
三角形の大きさが大きいほど内角の和も大きくなります．
面積 S と内角の和 A+B+C の間には
(1)　　S = (A+B+C-π)r^2
の関係があることが知られています．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=231117
にある程度詳細な議論があります．

お礼

ご回答いただき、たいへんありがとうございました。

回答No.2

Alicelove

三角形の内角の和が１８０度というのは、ユークリッド幾何学ですね。
非ユークリッド幾何学においては、
球面の外側では１８０度より大きくなり、内側では小さくなります。
・・・って高校の数学で習った記憶があります。

参考URL：

http://www.math.konan-u.ac.jp/lab/morimoto/kikahistory.html

お礼

ご回答いただき、たいへんありがとうございました。

回答No.1

Singollo

決まった角度にはなりませんが180度よりは大きくなります
たとえば北極点、経度&緯度とも0の点、緯度0&東経90度の点で三角形を作れば、90*3=270度になりますし、同じ3つの点でも2番目の点と3番目の点を結ぶとき地球の裏側を遠回りすれば、270+90+90=450度ですね

お礼

ご回答いただき、たいへんありがとうございました。