三角形の内角の和は本当に180度か

質問

三角形の内角の和は本当は180度より大きいということはないでしょうか？

どうしてそう思ったかといいますと、
例えばの話、球面上にいる二次元生物がいるとします。この二次元生物が球面上の北極を頂点、赤道の４分の１の長さを底辺とした三角形を描きます。この二次元生物にとっては各頂点は最短距離を結ばれていて三角形を描いているように思われますが、内角の和は270度になりますよね？
これを私達の３次元に拡張して、非常に離れた（宇宙の大きさと同じくらい離れた）３点を結び巨大な三角形をつくると同じように270度とかになったりすることがあるのかななどと思ってしまいましたが、何か大きな勘違いをしているのでしょうか？

回答No.9

proto · ベストアンサー

ユーグリッド幾何学の公理の中に
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線が
ただ一つ引ける』
というものがあります
一般的に平行線公理と呼ばれていますが
この公理があれば
三角形の内角の和が180°であることが証明できます

しかし、これは公理系から証明できるという問題で
実際にこの公理系に当てはまるモデルを考えなければ意味がありません
で、このユーグリッド幾何に当てはまるモデルが真っ平らな平面上での幾何学なのです

質問者さんが考えている球面上でのモデルでは
平行線公理が成り立たず
『一つの直線上に無い点を通り、その直線に平行な直線は存在しない』
となります、言い換えると
『２直線は必ず交わる』
となり、平行線公理の代わりにこの公理を取り入れたものが
非ユーグリッド幾何です

この非ユーグリッド幾何の公理系から導き出される定義の一つに
『三角形の内角の和は180°より大きい』
があります
つまり、球面上での幾何学は非ユーグリッド幾何のモデルであり
そのモデルでは確かに質問者さんの言うことは正しいのです

ちなみに、宇宙空間上で三角形を書いて
内角の和が本当に180°になるかと言うのは
数学の問題ではなく物理学の問題です
宇宙が明日消えてしまったとしても、平面に三角形を書いて内角の和を考えることは出来るのです、宇宙が消えてしまえば考える人も消えてしまいますが
(数学ではユーグリッド幾何が成り立つ、または成り立たないと最初に決めて話を進めます)

この問題に対する答えは、アインシュタインが相対性理論の中で出してくれていて
私たちの住む宇宙では、ユーグリッド幾何は近似的にしか成り立たないそうです
つまり、重力によって時空自体が歪められてしまう
私たちの宇宙では三角形の内角の和はだいたい180°にしかならないということですね

さらに補足ですが
球面は我々がユーグリッド幾何の範囲で考えているので
曲面に見えますが、非ユーグリット幾何ではその球面を
平面として扱います
まぁ、球面もユーグリッド幾何の意味で使ってますが
平面も、直線もいわゆる無定義語なので、公理系を満たせば何でも構わないんですね

お礼

相対性理論の中でも取り上げられているのですか。
私達が学校で習う数学はユーグリッド幾何に基づいたもので、それは近似的にしか成り立たないものなんですね。大分しっくりしてきた気がします。ありがとうございます。

補足

ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の関係というのは、古典物理学と量子物理学の関係と同じようなものと考えたらいいのでしょうか？近似しているという意味で。

回答No.17

quantum2000

No.１６さんのお話の通りですが、質問者のkdx_silvia2さんが聞きたい内容は、「数学」的な内容というよりは、「物理学」的なが内容のような気がしますから、一旦この質問欄を終了にして、新たな質問内容を考えて、質問のカテゴリーを「数学」でなく、今度は「物理」のカテゴリーで質問されるとよいかもしれません。

いずれにしろ、数学的な解説はNo.９さんの回答の通りです。また、物理学的には、kdx_silvia2さんのおっしゃる通りの「風船宇宙」の考え方があり、それを実際に検証しようと、

(1) 数学者であり天文学にも造詣のあったガウス（か誰か）が提唱して、ドイツ辺りで一辺が数十キロ（だったか数百キロだったか）の巨大な三角形を想定して、その３つの内角を実際に測ったという記事をどこかで読んだことがあります。その結果は、内角の和はほとんど１８０°で、測定の誤差の範囲だった（気がします）。つまり、少なくとも、我々の身近な範囲では、空間はほとんど曲がっていない、ということのようです。

(2) 最近の話で、宇宙空間に点在している銀河(?)の数を、我々の銀河の周りで測定して、宇宙空間の各部分での存在密度から、空間の曲がりを計算したら、わずかに「負の曲率」を示した、といった記事もどこかで見た気がするのですが・・・。もしそうだとすると、この宇宙空間は、少なくとも我々の銀河の辺りでは「わずかに開いた空間の形」をしている訳です。

回答No.16

siotan88

＞三角形の内角の和は本当は180度より大きいということはないでしょうか？

　↑　これが、本来の質問ですよね。

　私もおおいに興味がありますが・・・。あれこれと補足とお礼の書き込みが追加されてきて、これに対してもディスカッションの場になってきてしまっています。改めて、宇宙の成り立ちや非ユークリッド幾何学などについて、質問し直したらいかがでしょう。

回答No.15

GWarsenal

>No.14さん

ですね・・・よく考えれば風船宇宙も怪しいものです。
宇宙の始まった瞬間から光があらゆる方向に進んでいるのだと思いますが、光の速さは超重力を無視して等速ですし、物体無しでは直線に進むかと思います。
あらゆる方向に直線で同じ速度となれば、当然それは限りなく球体になります。
仮に宇宙が正方形だとして、光と同じ方角に広がっている最中にチリできた恒星などが我々地球に向かって光を出した場合、宇宙の壁にぶち当たった恒星からの光が届かない限り地球からみれば当然球体に見えます。

宇宙自体が星と同じような構成成分（波形ではなく物質である）場合でその宇宙の外が宇宙と同じ無重力であり、他の物体による引力が無いとして、さらに有限宇宙説が正しいのならおそらく球体になると思いますが・・。

話がそれてすみません・・・。

回答No.14

ryn

No.13 のお礼にある風船のイメージは
私もそのようにイメージしているのですが，
そのイメージに執着するのも危険かなとも思っています．

観測されている範囲内では宇宙はほぼ平坦なので，
風船のモデルが正しいなら，実際の宇宙は
観測外の領域がかなり大きいことになります．

それはそれでいいのですが，
風船のモデルが正しいイメージだと断言するには，
宇宙の大きさが今の観測領域と比較して大きいということを
理論から導けなければいけません．

現に，高校化学くらいの内容だと
原子核の周りを電子が回っているという
古典的なモデルで話がうまくいってしまいます．
イメージはしやすいですが正しくはないですよね．

あと，
> 二次元生物が球面をただひたすらまっすぐ進むと
>（三次元の生物から見ればまっすぐ進んでいないのですが）
> ひと周りしてもといたところに戻ってくるので。
これは観測された事実ではないので
今のところこれが説明できなければいけない
ということはないはずです．

いずれにしても，ダークマターや真空のエネルギー等も含めて
まだまだよくわかっていないのが現状だと思います．

ちょっぴり不信感を抱いている風船派でした．

回答No.13

GWarsenal

＞宇宙は膨張しており、星と星は互いに遠ざかっている
はい。確かにその説はあります。

この宇宙のどこかがその中心なのですが、説が正しければその中心から四方八方直線で広がっています。
宇宙より広い無の世界自体はが宇宙であり限られた空間ではなく（言い換えれば宇宙に壁は存在しない）端っこの星が宇宙という”宇宙”という定義上の空間の端になります。
これが正しければ宇宙に限りはなく、空間が球体だとか四角形だとか余裕で無関係になります。（数字の制約を超えるので）

ですがこれも仮説にすぎなく、普通に無限空間の無の世界に空間を作り広がる説もあります。
この場合、有限空間であり、確かに歪みが生じます（単に補正なしで単純に定規？ｗで直線を引いた場合）

またたとえば空間は有限であるが、宇宙の端と端が繋がっている説があります（３次元を超える次元球体の３次元空間）
またその応用の３次元に存在する２次元空間が宇宙という訳のわからん説も最近どっかの科学者が唱えていました。
ですが、それを証明できる方法がありません。
宇宙は人間の究極の難題科目ですね・・・。

お礼

いろいろな説があるんですね。

私は「宇宙は果てはないが有限、膨張しており、星と星は互いに遠ざかっている」というのを想像するときに次元を一つ落として次のように解釈しています（空間のゆがみや実際に存在するであろう四次元を想像できないので）。
表面にいくつかの点（二次元生物たち）を描いた風船があります。二次元生物たちにとっては風船の表面だけが宇宙空間です。風船の表面積は限られてます（宇宙空間は有限）。風船の表面に果てはありません（宇宙空間に果てがない）。風船を膨らますと表面積が大きくなります（宇宙空間が膨張）。その際、二次元生物たちはそれぞれが自分を中心として仲間が遠ざかっているように見えます（星と星は互いに自分を中心として他の星が遠ざかっていくように見える）。
これを一次元拡張したのが実際の宇宙なのかな、と。

補足

あと、この考え方だと「宇宙をひたすら飛び続けるといつかはもといたところに戻ってくる。」という事もイメージできるんです。
二次元生物が球面をただひたすらまっすぐ進むと（三次元の生物から見ればまっすぐ進んでいないのですが）ひと周りしてもといたところに戻ってくるので。
自分からみて真正面のずーっと前、真後ろのずーっと後ろ、真横のずーっと先、真上のずーっと上、真下のずーっと下にも自分がいるのかと思うと何だか不思議ですが。

回答No.12

ryn

質問者さんは No.6 さんのおっしゃるように
非ユークリッド幾何では内角の和が180度にならないことはわかった上で，
我々の住んでいるこの宇宙はどうなんだということを聞いておられるのですね．

質量の大きな星の近くの局所的にゆがんでいるところでは
180度から大きく離れる場合があると思いますが，
大域的に見ると宇宙はほぼユークリッド空間であることが観測でわかっています．

お礼

前に書きましたが、宇宙空間は有限なんでしょうか？
有限なら局所的な重力によるひずみを無視して、宇宙全体が歪んでいないとすれば、宇宙空間は無限にならなきゃいけなくなり、ビックバンによって宇宙が膨張しているということと矛盾しそうな気がしますが。

補足

地球表面を考えると、山とか谷によって地表はゆがんでいるが、もう少し視野を広げると全体としてはなだらかである、ということですよね？
でも、もっと広い範囲（例えば太平洋の大きさレベル）で考えると、なだらかとは言え表面は球面状にゆがんでいますよね？
そういう意味で、三角形の大きさが大きくなればなるほど内角の和が大きくなり、小さくなればなるほど180度に近づくのではないだろうか、と考えているのですが。
＃１３さんのおっしゃる「３次元を超える次元球体の３次元空間」のイメージです。

回答No.11

JAPAN2004

ABCを頂点とする三角形。

A地点に自分がいるとして、まずB地点に向かいます。
この角度を0度とします。

B地点からC地点に向かうために方向転換をします。
この角度が、b度であるとします。
B点の内角としては、（180度-b度）ですね。

今度はC地点から、A地点に向かって進みます。
元の位置に向かうわけです。

C地点からまた方向転換をするために、曲がります。
この角度をc度とすると先ほどと同じように、内角として、、（180度-c度）となるわけです。

今度は、A地点に戻って、0度の方向を向きます。
これで内角の総和が出ます。先ほどと同じように、（180度-a度）となるわけです。

自分自身は、360度回っているので曲がった角度の総和は360度になるはずです。

とすると

a+b+c=360です。（これは外角の和が360になることの証明になります）

先ほどの内角の計算式を考慮すれば
内角の総和をxとして
x=(180-a)+(180-b)+(180-c)

ｘ＝540-a-b-c=540-360=180
となります。

しかしこれは、平面に限ったことです。
例えば、地球規模で三角形を書いたとします。この球面により、曲がる角度は変形します。
自分自身は360度回転するだけではなく、xy以外の方向(z軸も考慮しなくては・・・)にも角度を持って曲がっています。

ただ、直線で進んでいるかといえば、球面に沿った進み方をしているのであって、直線ではありません。

3角形の内角の総和が180度になるのは、平面状に限られます。この点が重要なのですが・・・。

ただ、ミクロの場所での重力方向を無視して、宇宙規模の空間を直線で結ぶのであれば、宇宙規模のマクロ空間でも内角の総和は180度であるともいえます。

（重力のゆがみやブラックホールなどを無視して直線で結ぶことが前提）

・・・・・個人的な理解です。
内角や外角が何度になるのかは、都度上のように計算してテスト問題回答してました。
（公式を覚えるのが苦手なので、理論的に証明できない問題は私は苦手でした）

回答No.10

randy777

三角形の内角の和が、180度になるとは限らないのは
おっしゃるとおりだと思います。

ただ、われわれが一般的に学ぶ数学では、
逆に、”内角の和は１８０度になる”と
定義された空間に関して学んでいることになり、
それをユークリッド空間と呼びます。

つまり、内角の和が１８０度にならない空間は
非ユークリッド空間であり、
定義が別ですので、それらを混同してはならないわけです。

回答No.8

chikyuujinn

多分、ユークリッド幾何学で定義されている内容が、現実の物理会とは、異なる別の空間の概念を想定して、そこ
に新たな座標系を定義するという、極めて現実的で当然の
発想なのだと思います。　ところで、そのとき確度という
ものも、何か波動の直交伝播などで、別の概念など、導入
し、より宇宙を理解し易くする試みとして意味あること
でしょう。何らかの、座標系上の次元を１つ増やすという
のも、いいかも？

回答No.7

GWarsenal

確かにその理論どおり宇宙規模の大きさで線を引いた場合歪んでしまうことがあるかもしれません。
ただ三角形の内角の和は１８０度っていうのは直線で引いた場合です。
ちなみに２次元の話なので、どうやっても３次元で実現はできません（どのような方法をとっても絶対的に三次元になるため）
しかし、私たち人間を含め全ての物が３次元の物体のため歪みは生じません。
なぜなら私たちの歪みとその巨大三角形の歪みの割合は等しくなるためです。

ただし３次元から見た２次元、２次元からみた３次元（あなたの話）であれば歪むでしょう（理論上あり得ませんが）

お礼

「宇宙には果てがないが、大きさに限りがある」
「宇宙は膨張しており、星と星は互いに遠ざかっている」と聞いた事があります。
これが正しいとすればこれを満たすために宇宙空間は必ず歪んでいなければいけませんよね？
三角定規くらいの三角形でもある大きさの宇宙空間を占めているので歪んでいるのではないでしょうか？