解析の解き方教えてください

質問

１、|x|^n/n!→0 (n→∞)を示せ。

２、log(1+x) (-1<x<1)　マクローリン展開を求めよ。

です。

教えてください。お願いします。

回答No.4

noname#181872 · ベストアンサー

1.ほかにも解き方はあると思いますが（微妙にズレて見にくいところを
お許しを）。上付^、下付_で表します。

与えられた式をa_n=|x|^n/n!とします。

これは任意の整数kにおいてa_k/a_(k-1)=x/k。よって
a_k=(x/k)*a_(k-1)=(x/k)*(x/(k-1))*a_(k-2)=…

ところでx/k<1を満たす最小のkをKとおくと、
a_k=(x/k)*(x/(k-1))*…*(x/K)*(x/(K-1))*…(x/3)*(x/2)*a_1

a_1=|x|であることから、(x/(K-1))*…(x/3)*(x/2)*a_1はxが決まれば
定まる一定値である。これをmとおけば、

　　k
a_k=Π(x/j)*m
　　j=K　　　　　　　　　　　　　k
となる。ここでx/j<1よりlim　Π(x/j)=0
　　　　　　　　　　　k→∞　j=K

ゆえに求めるlim a_n=0
　　　　　　　n→∞
（ダランベールの判定法より、で一発でOK?）

2.は1.よりlim a_n=0がいえるので、
　　　　　n→∞
∞
Σ　f^(n)(0)/n!*x^n
n=0

こういう質問は基本的に学校でやったり、教科書や参考書に出ていたりするので
どういう事情で（テスト、課題、何かの論文を読んでいるなど）というのを
書いていただけたら、と思います。それによってアドバイスも変わると
思いますので。

回答No.5

uhyohyohyo

1.について

指数関数を展開すると、
exp(x)=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+ …=Σx^n/n!
ですよね。この無限級数は任意の有限な数xについて収束します。ということは一般項→0に収束する筈です。従って、x=|x|とすると一般項 |x|^n/n! が0に収束する…ということではだめでしょうか。

回答No.3

kony0

剰余項への持っていき方・・・
私がわかってないだけかもしれませんが、
log(1+x)=x+o(x)
log(1+x)=x-(1/2)x^2+o(x^2)
log(1+x)=x-(1/2)x^2-(1/3)x^3+o(x^3)
等ではだめですか？

回答No.2

kony0

１．を感覚的に「お話」します。
a_n = |x|/n, b_n = Π(i=1,...,n)a_i (= |x|^n/n!) とおく。
a_nはnに関して単調減少であり、あるN>|x|を考えると、
すべてのi>Nに対して、a_i<a_N（=εとおきます）<1といえる。
よって、任意のn>Nに対してb_n < b_N * ε^(n-N)→0 (n→∞）

２．f(x)=log(1+x), f'(x)=(1+x)^(-1), f''(x)=(-1)(1+x)^(-2)
以下、f[n](x) = (-1)^(n-1) * (n-1)! / (1+x)^n（f[n](x)はf(x)のn階導関数）
したがって、f(x)=Σ(n=0,1,2,...){f[n](x)/n!} x^n = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - ・・・

回答No.1

noname#181872

これぐらいなら微積の教科書に出ているのでは？と思いますが。

どこがわからないか（特に2）教えてください。

補足

剰余項へのもっていき方がちょっと分かりません。