logとルートの比較

質問

log n と√nとは関数の増え方はどちらが速いでしょうか。
また(logn)^2とnloglogn とではどちらが速いでしょうか。
問題文にはnよりもe^nの方が関数の増え方として速いということ
lim[n→∞] {n/e^n}=0を仮定しても良い
とあります。

n=1-xマクローリン展開で比較してみようかと思ったのですが
x=1-xとなり√の方がマイナスの項が増えるのでどう比較
すれば良いのか分からなくなっていしまいました。
マクローリン展開に限らなくて、説明できれば良いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

マクローリン展開するまでもなく, n = (1/2)log x とおけば終わりでしょ?

補足

回答ありがとうございます！
log n と√nについて出来ました。

次の問いも受け付けしています。
お手数おかけしてすみません。

回答No.2

noname#101087

・ n は整数 or 実数？
　とりあえず、実数 n > 0 としましょうか。

・「増え方」とは？
　とりあえず、n での微係数としましょうか。

　(log n)' = 1/n
　(√n)' = 1/(2*√n)
なので、
　(log n)' - (√n)' = 1/n - 1/(2*√n) = (2 - √n)/(2n)
これは、
　2 > √n なら > 0 つまり (log n)' > (√n)'
　2 < √n なら < 0 つまり (log n)' < (√n)'
ですね。

これなら、もう一つのほうも同様に勘定できませんか？
それとも、「増え方」の定義が違う？

補足

ありがとうございます。
遅れてすみません。
nは自然数でお願いします。

微分で勘定できるとはどういうことでしょうか。