ベクトルA＝2kベクトルに垂直で、ベクトルB＝iベ

質問

ベクトルA＝2kベクトルに垂直で、ベクトルB＝iベクトル+jベクトル+kベクトルと60度の角をなす単位ベクトルを求めよ

答え 1/4(√3±√5)iベクトル+1/4(√3±√5)jベクトル
が分かりません(~_~;)
計算過程などの方針を教えてもらえればと思っていますm(_ _)m
ちなみにe＝1 e＝(e1,e2,e3)と置いて条件式に当てはめてね連立方程式を解いたのですが計算が複雑でできませんでした…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

求める単位ベクトルを
e=(x,y,z)…(1)
と置くと
eは単位ベクトルだから
|e|=1…(2)
|e|^2=x^2+y^2+z^2=1…(3)

eは
A=2k=(0,0,2)…(4)
に垂直だから
eとAの内積
(e.A)
↓(1),(4)から
=((x,y,z),(0,0,2))
=x*0+y*0+z*2=2z
=0
だから
z=0…(5)
これを(1)に代入すると
e=(x,y,0)…(6)
(5)を(3)に代入すると
x^2+y^2=1…(7)

eは
B=i+j+k=(1,1,1)…(8)
と60°の角をなすから
(e,B)
=|e||B|cos60°
↓(2),(8),cos60°=1/2から
=|(1,1,1)|(1/2)
=(√3)/2…(9)

(e,B)
↓(6),(8)から
=((x,y,0),(1,1,1))
=x+y
これ=(9)から
x+y=(√3)/2…(10)
両辺からxを引くと
y=(√3)/2-x
これを(7)に代入すると
x^2+{(√3)/2-x}^2=1
x^2+(3/4)-x√3+x^2=1
2x^2-x√3+3/4=1
両辺を2で割ると
x^2-x√3/2+3/8=1/2
両辺から3/16を引くと
x^2-x√3/2+3/8-3/16=1/2-3/16
x^2-x√3/2+3/16=5/16
(x-√3/4)^2=5/16
両辺を1/2乗すると
x-√3/4=±√5/4
両辺に√3/4を加えると
x=(√3±√5)/4…(11)
これを(10)に代入すると
(√3±√5)/4+y=(√3)/2
両辺から(√3±√5)/4を引くと
y=(√3)/2-(√3±√5)/4
y=(√3-±√5)/4…(12)
これと(11)を(6)へ代入すると
e=((√3±√5)/4,(√3-±√5)/4,0)
={(√3±√5)/4}i+{(√3-±√5)/4}j
∴
e={(√3+√5)/4}i+{(√3-√5)/4}j
または
e={(√3-√5)/4}i+{(√3+√5)/4}j

お礼

迷いましたが、計算過程が詳しいということと早かっだという点でベストアンサーにしました！
回答ありがとうございました！

回答No.2

noname#252159

最初の人の解法が途中の式も詳しくてよいと思いますが、私なりに。
ベクトルA(0,0,2)垂直であることから、求めるベクトルの第3成分はOとおけます。
また、ベクトルBとの関係は60度という関係だけですから、ベクトル Bを単位ベクトル化してとらえます。(式3)
求める単位ベクトルはE (e1, e 2,0)とおけて内積の関係で（式4)󰀁が求められます。
e1と e 2について解けば求まります。